Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
Respuestas a la pregunta
La rentabilidad aumenta en el intervalo [0,200) y disminuye en el intervalo (200,500], luego la rentabilidad maxima se obtiene cuando se invierte 200 euros y en ese punto la rentabilidad sera de 75 euros.
La pregunta completa es: determinar teniendo en cuanto que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Nos fijamos que la ecuación es una parabola, encontramos el punto critico de la misma (pues es nuestro candidado a mínimo o maximo, utilizando el criterio de la primera derivada el punto donde esta se anula es el punto critico
R'(x) = -0.004*x + 0.8 = 0
x = -0.8/-0.004 = 200
Se estudia el signo de la derivada: a la derecha e izquierda para poder determinar donde es creciente y donde es decreciente:
Un punto menor que 200: puede ser el 100, evaluamos el signo
R'(100) = - 0.004*100 + 0.8 = 0.4 > 0
Como x es una cantidad de dinero: dene ser mayor o igual a cero, por lo tanto entre [0,200) la derivada es positiva, la rentabilidad es creciente entonces aumenta la rentabilidad
Un punto mayor que 200: puede ser el 300, evaluamos el signo
R'(300) = - 0.004*300 + 0.8 = -0.4 < 0
Como solo se disponen de 500 euros: entre (200,500] la derivada es negativba, la rentabilidad es decreciente entonces disminuye la rentabilidad
La máxima rentabilidad: es el punto máximo de la parabola, para esto debemos demostrar que el punto critico es un máximo, para esto evaluamos el punto critico en la segunda derivada si es negativo sera un máximo
R''(x) = - 0.004
R''(200) = - 0.004 < 0, por lo tanto x = 200 es un máximo
La mayor rentabilidad posible se obtiene cuando x = 200 (se invierten 200 euros)
El valor de la rentabilidad máxima: evaluamos en la función x = 200
R(200) = -0.002*(200²) + 0.8*200 - 5 = 75 euros
En la imagen adjunta podemos observar la gráfica de la función de rentabilidad recordando que x debe ser mayor o igual que cero y menor o igual a 500
