Un fabricante estima que cuando se producen q unidades de cierto artículo cada mes, el costo total es C(q) = 0,4 q2 + 3q + 40 miles de dólares, y las q unidades se pueden vender a un precio de p(q) = 22,2 – 1,2q dólares por unidad. Determine el nivel de producción que proporciona la máxima utilidad. ¿Cuál es la máxima utilidad?.
Respuestas a la pregunta
- El nivel de producción que proporciona la máxima utilidad es de 6 artículos.
- La máxima utilidad es de 17,6 dólares.
¿Qué es la utilidad?
En términos generales, la utilidad no es más que los ingresos menos los costos. Esto expresado matemáticamente es:
Utilidad = Ingresos - Costos
Resolviendo:
Primero planteamos la ecuación de utilidad:
U(q) = (22,2 – 1,2q)q - (0,4q2² + 3q + 40)
U(q) = 22,2q – 1,2q² - 0,4q² - 3q - 40
U(q) = – 1,6q² + 19,2q - 40
- Determine el nivel de producción que proporciona la máxima utilidad.
Para hallar la máxima utilidad procedemos a derivar la función anterior.
U'(q) = – 3,2q + 19,2
Ahora igualamos a cero y hallamos el valor de q:
– 3,2q + 19,2 = 0
3,2q = 19,2
q = 19,2/3,2
q = 6
Concluimos que el nivel de producción que proporciona la máxima utilidad es de 6 artículos.
- ¿Cuál es la máxima utilidad?
Ahora, evaluamos el valor de q en la función principal de utilidad:
U(6) = – 1,6(6)² + 19,2(6) - 40
U(6) = – 57,6 + 115,2 - 40
U(6) = 17,6 dólares
Después de resolver, podemos concluir que que la máxima utilidad es de 17,6 dólares.
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