Question

) Un fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce a p= 8040-120x soles cada uno. Si le cuesta 840 soles producir cada artículo y además tiene un costo fijo de 5000 soles al mes. A. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener un ingreso mensual de 112 800 soles? B. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener una utilidad de al menos 91 000 soles al mes?

Answer 1

Respuesta:

A. 47 o 20 unidades de producto.

B. 40 o 20 unidades de producto.

Explicación paso a paso:

Tema: Teoría del productor

Sea "x" el número de unidades

A. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener un ingreso mensual de 112 800 soles?

Para este punto debemos calcular la función Ingreso I(x) . La función Ingreso está representada por el precio multiplicado por el número de unidades que se venden, es decir:

                                                $I(x)=P*x$

El ejercicio nos da la función precio: P = 8040 - 120x , entonces reemplazamos:

                                          $I(x)=(8040-120x)x\\I(x)=8040x-120x^2$

                                  Hemos hallado la función ingreso

• Se desea obtener un ingreso mensual de 112800 soles, entonces I(x) = 112800. Reemplazamos:

                                       $112800=8040x-120x^2\\120x^2-8040x+112800=0\\(x-47)(x-20)=0$

                    $x - 47=0$                 ∧                    $x-20=0$

                      $x=47$                                               $x=20$

Por lo tanto tenemos dos alternativas. Podemos producir y vender 47 unidades o 20 unidades.

B. ¿Cuántas unidades debe producir y vender para obtener una utilidad de al menos 91 000 soles al mes?

Para este punto debemos obtener la función Utilidad U(x) . La función Utilidad está representada por los Ingresos I(x) menos los Costos C(x) , es decir:

                                         $U(x)=I(x)-C(x)$

Anteriormente hemos calculado la función Ingreso, solo nos faltaría la función costos.

La función Costos C(x) está representada por el Costo Fijo (CF) más el Costo Variable (CV)

                                           $C(x)=CF+CV$

- El Costo fijo es aquel costo que se tiene que pagar independientemente del volumen de producción.

- El Costo Variable es aquel costo que aumenta cuando sube el volumen de producción, por lo tanto depende de "x"

El ejercicio nos da un costo fijo de 5000 soles y un costo variable de 840, entonces reemplazamos:

                                            $C(x)=5000+840x$

                                  Hemos hallado la función Costo

Ahora podemos calcular la función Utilidad U(x):

                              $U(x)=8040x-120x^2-(5000+840x)\\U(x)=8040x-120x^2-5000-840x\\U(x)=7200x-120x^2-5000$

                                Hemos hallado la función Utilidad

• Se desea obtener una utilidad de al menos 91000 soles, entonces U(x) = 91000. Reemplazamos:

                                    $91000=7200x-120x^2-5000\\120x^2-7200x+96000=0\\(x-40)(x-20)=0$

              $x-40=0$                        ∧                       $x-20=0$

                 $x=40$                                                      $x=20$

Por lo tanto tenemos dos alternativas de producción, se puede producir 40 unidades o 20 unidades para alcanzar como mínimo una utilidad de 91000 soles al mes.

Puedes ver una tarea similar en: https://brainly.lat/tarea/9536527