Un estudiante desea encontrar dos números: x e y tales que “y” sea el doble cuadrado de “x” y que la diferencia de los cuadrados (x2 - y2) sea máxima. ¿Cuáles son esos números? (Aplicar derivada)
Respuestas a la pregunta
Los números que cumplen las condiciones del estudiante son las siguientes parejas:
- x = √(1/8) ; y = 1/4
- x = -√(1/8) ; y = 1/4
Explicación paso a paso:
Inicialmente planteamos las condiciones que establece el enunciado:
- y = 2x²
- x² - y² debe ser máxima
Lo que haremos será sustituir la primera condición en la segunda:
f(x) = x² - (2x²)²
f(x) = x² - 4x⁴
Como deseamos que la diferencia sea máxima entonces debemos derivar e igualar a cero.
f'(x) = 2x - 16x³ = 0
2x - 16x³ = 0
x·(2 - 16x²) = 0
De aquí tenemos tres soluciones:
x₁ = 0
(2 - 16x²) = 0
16x² = 2
x² = 1/8
x = ±√(1/8)
x₂ = √(1/8)
x₃ = -√(1/8)
No se toma la solución x₁ = 0 para encontrar valores diferentes de cero.
Por tanto, con los valores de x₂ y x₃ encontramos los valores de y:
y = 2x²
y₁ = 2·(√(1/8))² = 2/8 = 1/4
y₂ = 2·(-√(1/8))² = 2/8 = 1/4
Por tanto, las parejas de números que cumplen con las condiciones son:
- x = √(1/8) ; y = 1/4
- x = -√(1/8) ; y = 1/4
Respuesta:
Explicación paso a paso:
El cálculo diferencial básico (nivel bachillerato) nos permite resolver problemas de optimización. En estos problemas, se desea encontrar los puntos de máximos y/o mínimos de una función, es decir, se maximiza o minimiza una función.
Ejemplo de problema: Encontrar parejas de números x e y tales que y sea el doble del cuadrado de x y que la resta de sus cuadrados (x^2 - y^2) sea máxima.
La función que debe optimizarse en este problema es f(x) = x^2 - y^2.
Método de resolución
Para resolver este tipo de problemas, seguiremos el siguiente esquema:
Encontrar la función que se debe maximizar o minimizar.
Calcular la derivada de la función .
Igualar a 0 la derivada de para encontrar los puntos críticos (puntos candidatos para ser extremos).
Estudiar la monotonía de la función en los intervalos que determinan los puntos críticos para determinar si son o no extremos (criterio de la primera derivada). Este paso se puede omitir si se aplica el criterio de la segunda derivada.
Resolución del problema del ejemplo:
La función que debemos maximizar es f(x) = x^2-y^2. Esta función tiene dos variables, pero como y debe ser el doble de x^2, tenemos que y = 2x^2. Sustituimos en la función:
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)
Derivamos:
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)
Puntos críticos:
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)
Los puntos críticos son x = 0 y
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)
Analizando la monotonía, la función tiene máximos en los puntos
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)
Por tanto, las parejas de números que buscamos son
Problemas de Optimizar (cálculo diferencial)