Question

Un depósito de agua tiene forma semiesférica de 8m de diámetro, medida que corresponde a la tapa del depósito. Si la superficie del agua contenida en el depósito está a 1m por debajo de la tapa, ¿cuánto será el trabajo que se requiere para bombear el agua hasta 3m arriba del depósito?

Answer 1

Se necesitan 1,35 MJ de trabajo mecánico para elevar el agua 3 metros por arriba del depósito.

¿Cómo hallar el trabajo invertido para bombear el agua?

Podemos tomar el origen de coordenadas como el centro de la semiesfera, entonces, el lugar a donde se quiere elevar el agua está en z=3.

Si el depósito tiene 8 metros de diámetro, tiene 4 metros de radio, entonces, el agua está entre z=-1 y z=-4. Podemos hallar un diferencial de volumen en forma de cilindro infinitesimal de altura dz y cuyo radio será:

$r=\sqrt{4^2-z^2}=\sqrt{16-z^2}$

Entonces, el diferencial de volumen será:

$dV=\pi.r^2\times dz=\pi.(16-z^2)dz$

Conociendo la densidad del agua, podemos establecer un diferencial de masa:

$dm=\delta.dV=\delta.\pi.(16-z^2)dz$

Al bombear el agua le vamos a estar dando energía potencial gravitatoria, por lo que podemos establecer un diferencial de trabajo mecánico igual a esa energía potencial aportada:

$dW=dm.g.\Delta z=\delta\pi(16-z^2)dz.g.(3-z)=\delta\pi.g.(16-z^2)(3-z)dz$

Entonces, para hallar el trabajo que hay que invertir para elevar el agua a  3 metros de altura por encima del depósito, podemos integrar esta expresión en función de z:

$W=\delta\pi.g\int\limits^{-1}_{-4} {(16-z^2)(3-z)} \, dz=\delta\pi.g\int\limits^{-1}_{-4} {48-16z-3z^2+z^3} \, dz\\\\W=\delta\pi.g[48z-8z^2-z^3+\frac{z^4}{4}]^{-1}_{-4}\\\\W=\delta\pi.g[48(-1)-8(-1)^2-(-1)^3+\frac{(-1)^4}{4}-(48(-4)-8(-4)^2-(-4)^3+\frac{(-4)^4}{4})]\\\\W=\delta\pi.g[-48-8+1+\frac{1}{4}-(-192-128+64+64)]=\delta\pi.g.137,25$

Reemplazando las constantes por sus valores tenemos:

$W=137,25.1000\frac{kg}{m^3}.\pi.9,81\frac{m}{s^2}=1,35\times 10^6J=1,35MJ$

Más ejemplos de la energía potencial gravitatoria en https://brainly.lat/tarea/64007805

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