Question

Un depósito de agua está a 100 metros de un edificio. Desde una ventana del edificio se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del depósito es de 39° y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 25°. ¿Cuál es la altura del depósito y a que altura esta la ventana?

Answer 1

La altura del depósito de agua es de 172.6 metros

La ventana se encuentra a una altura de 46.63 metros    

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.    

Dado que una persona desde una ventana en lo alto de un edificio observa la parte inferior de un depósito de agua con un ángulo de depresión de 25° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 39°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior del depósito de agua-, con un ángulo de depresión de 25°, el lado DB que es una porción del depósito de agua y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se ubica la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, - de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al depósito de agua y también la distancia horizontal hasta éste, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD: en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior del depósito de agua -, con un ángulo de elevación de 39°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del depósito de agua -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal hasta el depósito de agua

Donde se pide determinar la altura "h" del depósito de agua y la altura "x" donde se encuentra la ventana

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

Hallada la dimensión de "x" nos dará la altura a la que se ubica la ventana

Y la sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del depósito de agua

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la altura x – altura de la ventana - que coincide con una porción de altura del depósito de agua-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 25° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 25^o }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ al \ deposito } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =distancia \ al \ deposito\ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =100 \ m\ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =100\ m\ . \ 0.466307658155 } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =46.63\ metros } }$

Luego la altura x es de 46.63 metros, siendo la altura de la ventana –que coincide con una porción de la altura del depósito de agua-

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la altura y –  segunda porción de la altura del depósito de agua-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 39^o }$

$\boxed{\bold { tan(39^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(39^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ al \ deposito } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y = distancia \ al \ deposito \ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =100 \ m \ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =100 \ m\ . \ 0.809784033195 } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =80.97 \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 80.97 metros, siendo la otra parte de la altura del depósito de agua

Hallamos la altura h del depósito de agua

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Deposito \ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\bold{altura \ x =Altura \ Ventana}$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Deposito \ (h)= 46.63 \ m +\ 80.97 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Deposito \ (h)=172.60\ metros } }$

La altura del depósito de agua es de 172.6 metros

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto