Question

Un depósito cilíndrico recto de radio
5 pg y altura 10 pg contiene aceite
exactamente a su mitad. Dicho depósito se coloca horizontalmente sobre su lado,
en ese momento inicia a salir aceite del depósito por un agujero. Se sabe que el
nivel del aceite decrece con una rapidez de 2 pg/min. (a) Exprese el área de la
superficie del aceite en función de la altura, (b) exprese el área de la superficie en función del tiempo, y (c) a los cuántos minutos el tanque quedará vacío​

Answer 1

Primero expresemos la altura en función del tiempo

h = 5 - (2pg/ min) t, donde t es el tiempo en minutos. en forma abreviada

h = 5 -2t

(a) lo que permanece constante es la altura 10 pg de la superficie del aceite, que sería un lado del rectángulo de una parte de la superficie del aceite en el cilindro, faltaría hallar el otro lado x del rectángulo, entonces

$(x/2)^2=5^2-(5-h)^2~~\cdots\cdots\cdots (teorema~de~pit\'agoras)\\\\x=2\sqrt{h(10-h)}$

Por ende el área del rectángulo es $A_1=10x=10\sqrt{h(10-h)}$

• luego tenemos que hallar el área de sección cilíndrica de altura 10.

solo nos faltaría la longitud de su otro borde que es un arco de circunferencia.

$\text{Sea \theta el \'angulo central de dicho arco}\\\\\cos (\theta/2) = \dfrac{5-h}{5}=1-\dfrac{h}{5}~,~ 0\leq h\leq 5\\ \\\\\theta = \arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right)\\ \\\\\text{Entonces la longitud del arco es }L=\theta r=5\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right)\\ \\ \\\\\text{Por ende el \'area de secci\'on cil\'indrica es }A_2=50\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right)$

• restaría calcular el área de las secciones circulares en forma de media luna.

$A_3=A_4 = \dfrac{\theta r^2}{2}-\dfrac{x(5-h)}{2}=\dfrac{1}{2}\left[25\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right) - (5-h)\sqrt{h(10-h)}\right]\\ \\ \\\\\text{Finalmente el \'area total de la superficie es:}\\ \\\\A=10\sqrt{h(10-h)}+50\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right)+25\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right) - (5-h)\sqrt{h(10-h)}\\ \\ \\A=75\arccos \left(1-\dfrac{h}{5}\right) + (h+5)\sqrt{h(10-h)}~,~h\in[0,5]$

(b) solo reemplazamos h = 5 -2t en (a)

$A_t=75\arccos \left(\dfrac{2t}{5}\right) + (10-2t)\sqrt{25-4t^2}$

(c) cuando h = 0, es decir

5 - 2t = 0

t = 5/2 min

por eso $t\in \left[0,\frac{5}{2}\right]$