Question

Un cientifico tiene un precipitado compuesto de 1 gramo de una sustancia y 1 gramo de impurezas. Si en cada lavado se logra reducir las impurezas a la mitad, ¿cuantos lavados son necesarios para que las impurezas sean menores a 0,0001 gramos?

Answer 1

Tarea:

Un científico tiene un precipitado compuesto de 1 gr. de una sustancia y 1 gr. de impurezas. Si en cada lavado se logra reducir las impurezas a la mitad, ¿cuántos lavados son necesarios para que las impurezas sean menores a 0,0001 gr.?

Respuesta:

Serán necesarios 14 lavados

Explicación paso a paso:

Esto se resuelve usando progresiones.

En este caso estamos ante una progresión geométrica (PG) decreciente.

Es geométrica porque cada término se obtiene de multiplicar el anterior por un número llamado razón "r".

Aquí, la razón es r = 0,5 porque nos dice que en cada lavado las impurezas se reducen a la mitad lo cual significa que si teníamos una cantidad inicial de impurezas de 1 gramo  (primer término de la PG = a₁)  el segundo término se obtiene multiplicando 1×0,5 = 0,5 = a₂  y que comprobamos que es menor que el primero, de ahí que la PG sea decreciente, es decir, según aumenta el nº de orden, se reduce el valor del término correspondiente.

Lo que nos pide calcular es el número de términos (lavados) que serán necesarios para que las impurezas se reduzcan a menos de 0,0001 gr. y ese número se representa como "n".

Por tanto, conocemos el valor del último término de esa PG pero no sabemos qué lugar ocupa así que decimos que   aₙ = 0,0001

Teniendo todo eso claro, se acude a la fórmula del término general de las PG que dice:    $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo valores y despejo "n"

$0,0001=1*0,5^{n-1}\\ \\ 0,0001 =\dfrac{0,5^n}{0,5^1} \\ \\ 0,00005=0,5^n$

Aquí hay que recurrir a logaritmos para encontrar el valor de "n" pero yo lo tengo bastante olvidado así que lo he hecho de un modo más manual que es usando la calculadora y dando valores a esa variable.

El resultado que me aparece como válido es 14 ya que tenemos que:

0,5¹³ = 0,0001220703125

0,5¹⁴ = 0,00006103515625

Es decir que elevando 0,5 a la 13ª potencia no llegamos a su valor de 0,00005

Pero si lo elevamos a la 14ª potencia ya nos pasamos así que el nº mínimo de lavados necesarios deben ser 14

Saludos.