Question

Un avión de rescate deja caer un paquete de alimentos a un grupo de exploradores. Si el avión viaja horizontalmente a 1 080 km/h y a una altura de 1 100 m sobre el suelo. a. ¿Dónde cae el paquete en relación con el punto en qué se soltó? b. ¿Qué velocidad tiene el paquete justo antes de que golpee el suelo?

Answer 1

a) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 4494 metros, siendo esta la distancia horizontal a la que cae el paquete con respecto al punto donde fue lanzado

b) La velocidad que tiene el paquete justo antes de impactar el suelo es de 334 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Convertimos los kilómetros por hora (km/h) a metros por segundo (m/s)

Sabemos que en un kilómetro hay 1000 metros

Sabemos que en 1 hora hay 3600 segundos

Planteamos

$\boxed {\bold {V = 1080\ \frac{ \ km}{h} \ . \left(\frac{ 1000 \ m }{1\not km} \right) \ . \ \left(\frac{ 1\not h }{ 3600 \ s} \right) = \frac{1080000}{3600} \ \frac{m}{s} = 300 \ \frac{m}{s} }}$

Calculamos el tiempo de vuelo del paquete de alimentos

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzó el proyectil  $\bold {H= 1100 \ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 1100 \ m }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 2200 \not m }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{224.48979591 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 14.98 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del paquete es de 14.98 segundos

a) Determinamos donde cae el paquete en relación al punto en donde se lanzó

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =300 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 14.98\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 4494 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 4494 metros, siendo esta la distancia horizontal a la que cae el paquete con respecto al punto donde fue lanzado

b) Hallamos la velocidad que lleva el paquete justo antes de golpear el suelo

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  14.98 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =300 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-9.8 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 14.98 \not s }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-146.804 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-146.80\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con que el paquete llega al suelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(300 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-146.80 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{90000 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +21550.24 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{111550.24\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 333.99 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 334 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad que tiene el paquete antes de impactar el suelo es de 334 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento