Question

Un árbol gigante proyecta una sombra de 532 pies de largo. Determine la altura del árbol si el Angulo de elevación del Sol es de 25º.

Answer 1

La altura del árbol gigante es de aproximadamente 248 pies

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol gigante junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol gigante, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el árbol gigante hasta cierto punto donde esta se extiende. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto donde culmina la sombra hasta el extremo superior del árbol gigante el cual es visto con un ángulo de elevación al sol de 25°

Donde se pide hallar:

La altura del árbol gigante

Esto se puede observar en al gráfico adjunto    

Conocemos la longitud de la sombra proyectada por el árbol gigante y de un ángulo de elevación al sol de 25°

• Sombra del árbol gigante = 532 pies

• Ángulo de elevación = 25°

• Debemos hallar la altura del árbol gigante

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol gigante y conocemos un ángulo de elevación al sol de 25° y debemos hallar la altura del árbol gigante, - la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Determinamos la altura del árbol gigante

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 25^o }$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(25^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol} } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =sombra\ del \ arbol \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =532 \ pies \ . \ tan(25^o) } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ arbol =532 \ pies \ . \ 0.466307658155 } }$

$\boxed{\bold { altura\ del \ arbol= 248.07\ pies } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ arbol \approx 248 \ pies } }$

Luego la altura del árbol gigante es de aproximadamente 248 pies

Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto