Question

Un anuncio luminoso de forma rectangular debe tener 36 m2 de área. En los cuatro lados tendrá franjas no iluminadas de 50 cm de ancho y en los lados horizontales de 60 cm de ancho en los verticales.
CONTESTAR LOS SIGUIENTES INCISOS

Answer 1

Las dimensiones del rectángulo iluminado de área máxima son:  5.4  m  de largo y  4.5  m  de ancho.

Explicación paso a paso:

En principio vamos a operar en la función para expresarla como un polinomio, lo que facilita la operación de derivación.

$\bold{f_{(x)}~=~(x~-~1.20)(\dfrac{36}{x}~-~1)~=~37.2~-~x~-~43.2x^{-1}}$

Ahora respondemos los planteamientos

g. Primera derivada

$\bold{f'_{(x)}~=~(37.2~-~x~-~43.2x^{-1})'~=~(37.2)'~-~(x)'~-~(43.2x^{-1})'\quad\Rightarrow}$

$\bold{f'_{(x)}~=~-1~+~43.2x^{-2}~=~\dfrac{43.2~-~x^{2}}{x^{2}}}$

h. Valor crítico

El o los valores críticos de  x  son aquellos valores, en el dominio de f(x),  que anulan o hacen indefinida la primera derivada

$\bold{f'_{(x)}~=~0\quad\Rightarrow\quad 43.2~-~x^{2}~=~0\quad\Rightarrow\quad x~\approx~-6.6\quad v\quad x~\approx~6.6}$

$\bold{f'_{(x)}~no~existe \quad\Rightarrow\quad x^{2}~=~0\quad\Rightarrow\quad x~=~0}$

De estos valores de la función solo es de interés    x  =  6.6    por ser el único que tiene sentido como distancia.

El valor crítico de  x  es  6.6.

i. Segunda derivada

$\bold{f''_{(x)}~=~(-1~+~43.2x^{-2})'~=~-86.4x^{-3}}}$

Evaluamos en el valor crítico de  x

$\bold{f''_{(6.6)}~=~-86.4(6.6)^{-3}~<~0}$

El signo negativo de la segunda derivada indica que el valor crítico de  x  corresponde a un máximo de la función f.

j.  Dimensiones del rectángulo iluminado

Largo  =  x  -  1.20  =  6.6  -  1.20  =  5.4  metros

Ancho  =  (36/x)  -  1  =  36/6.6)  -  1  =  4.5  metros

Las dimensiones del rectángulo iluminado de área máxima son:  5.4  m  de largo y  4.5  m  de ancho.