Question

Transformada inversa de laplace ejercicios resueltos

Answer 1

Respuesta:

Calculemos la transformada inversa de Laplace de la función:

$F(s)=\frac{s+1}{s^{2}+6s+45}$

Trabajamos primero la expresión $s^{2}+6s+45$ que está en el denominador

Tomamos el coeficiente del término lineal, o sea el 6 (de 6s). Sumamos y restamos el cuadrado de la mitad de dicho término:

$s^{2}+6s+(\frac{6}{2})^{2}+45-(\frac{6}{2})^{2}$

Efectuamos la operación:

$s^{2}+6s+9+45-9$

Con la expresión así obtenida, tenemos que $s^{2}+6s+9$ es un trinomio cuadrado perfecto, que podemos factorizar así: $(s+3)^{2}$

Hacemos la resta 45-9 y tenemos la siguiente nueva expresión:

$F(s)=\frac{s+1}{(s+3)^{2}+36}$

Ahora podemos expresar la transformada inversa:

Expresamos la transformada inversa de F(s) como:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s+1}{(s+3)^{2}+36}]$

Ahora vamos a la tabla de transformadas de Laplace y buscamos una fórmula que se asemeje a la función que hemos expresado:

Encontramos una que dice:

$\frac{s-a}{(s-a)^{2}+k^{2}}.....e^{at}coskt$

Tenemos que identificar a qué corresponde $a,k,k^{2}$

Para identificar "a" tomamos el binomio s+3 y lo descomponemos en s-(-3)

Ahora ya sabemos que el valor de "a" es -3 y que el valor de $k^{2}$ es 36; por tanto, k=6 puesto que dicha k es la raíz cuadrada de $k^{2}$

Ahora, completaremos la función sumando y restando 3, para igualar el binomio del denominador, con un binomio del numerador:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s+3+1-3}{(s+3)^{2}+36}]$

descomponemos s+3 como s-(-3) y aplicamos eso al numerador y al denominador:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s-(-3)+1-3}{[s-(-3)]^{2}+36}]$

operamos 1-3

$f(t)=L^{-1}[\frac{s-(-3)-2}{[s-(-3)]^{2}+36}]$

Nuestro interés es que la función se asemeje a la fórmula que encontramos en la tabla de transformadas de Laplace, por tanto, hacemos uso de las propiedades de los fraccionarios y expresamos:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s-(-3)}{[s-(-3)]^{2}+36]}-\frac{2}{[s-(-3)]^{2}+36}]$

Tenemos entonces que encontrar la transformada inversa de 2 términos. Por tanto dejamos la constante 2 fuera del operador de la transformada inversa y planteamos la siguiente expresión:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s-(-3)}{[s-(-3]^{2}+36}]-2L^{-1}[\frac{1}{[s-(-3)]^{2}+36}]$

Necesitamos ahora volver a la tabla para identificar la fórmula para el segundo término:

$\frac{k}{(s-a)^{2}+k^{2}}....e^{at}senkt$

Encontramos que los valores de "a" y de $k^{2}$ y k, son los mismos anteriores, es decir -3 y 36 y 6

Ahora trabajaremos para que el segundo término se asemeje a su fórmula:

Multipliquemos y dividamos el segundo término por el valor de k, para que la función no se altere y también para asemejar el segundo término con su correspondiente fórmula:

$f(t)=L^{-1}[\frac{s-(-3)}{[s-(-3]^{2}+36}]-\frac{2}{6}L^{-1}[\frac{6}{[s-(-3)]^{2}+36}]$

Ahora tomemos los valores de "a" y "k" y los sustituimos en cada fórmula y tendremos la transformada inversa de la función f(s):

$f(t)=e^{3t}cos(6t)-\frac{1}{3}e^{-3t}sen(6t)$