Question

Te)
Sacar: Area y Perimetro de un hexagono regular
A:
P:
radio:4x2+28
base:9x3+5​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Datos:

• radio: 4x²+28
• base: 9x³+5

Para obtener el perímetro, solo multiplicamos la longitud de la base por el número de lados del polígono, como es un hexágono son 6 lados.

P=(6)(9x³+5)

P=54x³+30

Para calcular el área de un polígono regular, necesitamos saber el perímetro y el valor de su apotema.

Como nos dan el radio y la base, podemos calcular el apotema usando el teorema de Pitágoras, donde el radio es la hipotenusa. La base la dividimos entre dos para poder tomar el triángulo formado con los lados radio, apotema y base.

Base del triángulo: 9x³+5/2

c²=a²+b²

${(4 {x}^{2} + 28)}^{2} = {a}^{2} + {( \frac{9 {x}^{3} + 5 }{2} )}^{2}$

Despejando a y tendremos:

${a}^{2} ={ ( {4x}^{2} + 28)}^{2} - { (\frac{9 {x}^{3} + 5 }{2}) }^{2} \\ {a}^{2} = 16 {x}^{4} + 224 {x}^{2} + 784 - \frac{{(9 {x}^{3} + 5)}^{2} }{ {2}^{2} }$

Hacemos que cada termino tenga el mismo denominador:

${a}^{2} = \frac{64 {x}^{4}}{4} + \frac{896 {x}^{2} }{4} + \frac{3136}{4} - \frac{{(9 {x}^{3} + 25)}^{2} }{4}$

Unimos todas las fracciones en una sola:

${a}^{2} = \frac{64 {x}^{4} + 896 {x}^{2} + 3136 - {(9 {x}^{3} + 5)}^{2} }{4}$

Si extraemos factor común el 64 de los tres terminos, tenemos que arriba quedaría: 64(x⁴+14x²+49), el trinomio de adentro es un trinomio cuadrado perfecto que se puede factorizar como (x²+7)², por lo que la expresión nos queda así:

${a}^{2} = \frac{64{( {x}^{2} + 7)}^{2} - {(9 {x}^{3} + 5) }^{2} }{4}$

En el numerador podemos factorizar a partir de la diferencia de cuadrados, donde a²-b²=(a+b)(a-b)

a=8(x²+7), b=9x³+5

Quedando:

${a}^{2} = \frac{(8( {x}^{2} + 7) + (9 {x}^{3} + 7))(8( {x}^{2} + 7) - (9 {x}^{3} + 7))}{4} \\ {a}^{2} = \frac{(8{x}^{2} - 9 {x}^{3} + 51)(8 {x}^{2} + 9 {x}^{3} + 61) }{4}$

Para despejar completamente el valor del apotema sacamos raiz cuadrada a ambos lados, en la fracción el numerador conserva la raíz, y el denominador queda 2 ya que raiz de 4 es 2.

$a = \frac{ \sqrt{(8 {x}^{2} - 9 {x}^{3} + 51)(8 {x}^{2} + 9 {x}^{3} + 61) } }{2}$

La fórmula para calcular el área de un polígono regular es: Pa/2

donde P es el perímetro y a el apotema.

Sustituyendo tenemos:

$a = \frac{(54 {x}^{3} + 30)(\frac{ \sqrt{(8 {x}^{2} - 9 {x}^{3} + 51)(8 {x}^{2} + 9 {x}^{3} + 61) } }{2})}{2} \\ a = \frac{\frac{(54 {x}^{3} + 30) \sqrt{(8 {x}^{2} - 9 {x}^{3} + 51)(8 {x}^{2} + 9 {x}^{3} + 61) } }{2}}{2} \\ a = \frac{{(54 {x}^{3} + 30) \sqrt{(8 {x}^{2} - 9 {x}^{3} + 51)(8 {x}^{2} + 9 {x}^{3} + 61) }}}{4}$

Esa sería el área del polígono en términos de x.