Question

Suponga que f(x)=x^3 1 con x ϵ [-2,2], encuentre un numero ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b].

Answer 1

Para encontrar un valor  ξ tal que f(ξ)= f ̅ [a,b] a partir de la ecuación  f(x)=x^3 + 1 con x ϵ [-2,2], se emplea el Teorema del valor medio de la siguiente manera:

Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:

                                  f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Entonces se tiene que cumplir ciertas condiciones para poder aplicar este teorema:

Condiciones

1. f continua en [a,b]
2. f derivable en (a,b)      → Э c ∈  (a,b) /  f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

        f(a)≠f(b)

Se tiene la función:

f(x)=x^3 1 con x ϵ [-2,2],

En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio.

Debemos comprobar si la ecuación es continua en [-2,2] y derivable en (-2,2)

Continua

La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [-2,2].

Es derivable:

La función es derivable en (-2,2) si su derivada es continua en ese intervalo.

La derivada de la función es:

f'(x)=3x^2

Es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.

Es continua en [-2,2] y derivable en (-2,2), por tanto, existe un valor de c  en ese intervalo tal que:

                                f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Ahora se procede a determinar el valor c:

f(x)=x^3 + 1

f(-2)=(-2)^3+1=-7

f(2)=(2)^3+1=9

f'(c)=\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{16}{4}=4

Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):

f'(x)=3x^2

Sustituyendo la x por la c:

f'(c)=3c^2

Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

3c^2=4

c^2=4/3

c=\sqrt{4/3}=\frac{2}{\sqrt{3} }=\frac{2\sqrt{3} }{3}

Y este es el numero c=\frac{2\sqrt{3} }{3}  tal que f(c) = f̅[0,2]