Question

Si la suma de tres números en una progresión geométrica es 26 y su producto es 216 entonces determine tales números.

Answer 1

Respuesta:

Los números son 2, 6 y 18

Explicación paso a paso:

Llamamos al primer número o término "a"

Por ser progresión geométrica la razón entre los términos es un cociente que se obtiene de dividir un término entre el anterior. Eso significa que si multiplicamos al primer término por la razón, obtendremos el segundo término, y si multiplicamos al primer término por la razón elevada al cuadrado, obtendremos el tercer término.

Ensamblemos ahora las ecuaciones. Una con la suma y otra con el producto:

$a+ar+ar^{2}=26\\a*ar*ar^{2}=216$

Operemos la primera ecuación. Sacamos factor común y después pasamos el segundo factor a dividir al otro lado:

$a(1+r+r^{2})=26\\\\a=\frac{26}{1+r+r^{2}}$

Dejemos esa igualdad quieta por ahora y trabajemos la segunda ecuación, es decir la del producto.

$a*ar*ar^{2}=216\\a^{3}r^{3}=216\\a^{3}=216/r^{3}\\a=\sqrt[3]{\frac{216}{r^{3}}}\\a=6/r$

Tengo las dos ecuaciones (la de suma y producto) iguales a "a"; por tanto puedo igualarlas así:

$\frac{26}{(1+r+r^{2})}=\frac{6}{r}$

Aplico la propiedad que dice producto de medios igual a producto de extremos:

$26r=6(1+r+r^{2})$

Despejo r:

$r=\frac{6(1+r+r^{2})}{26}=\frac{3(1+r+r^{2})}{13}$

Paso 13 a multiplicar:

$13r=3+3r+3r^{2}$

Paso 13r a restar e igualo la ecuación a cero para resolverla como cuadrática:

$3r^{2}+3r-13r+3=0\\3r^{2}-10r+3=0$

Resuelvo aplicando la fórmula del estudiante. Tengo en cuenta para la fórmula que los coeficientes son a=3;  b=-10;  c=3

$r=\frac{10+\sqrt{64}}{6}=3$

Encontramos la razón, que es igual a 3

Reemplacemos r en la primera ecuación, la de la suma:

$a+3a+9a=26\\13a=26\\a=26/13\\a=2$

Encontramos que el primer número es 2.

El segundo será 2 multiplicado por la razón que es 3 = 6

El tercero será 2 multiplicado por la razón al cuadrado que es 9 = 18

Los números son: 2, 6, 18

PRUEBA:

Suma de los tres números:

2+6+18 =26

Producto de los tres números:

2*6*18= 216

Tal como lo enunció el problema.