Question

Si el quinto término de una progresión aritmética es 18 y el noveno es 34, entonces los valores del primer término a1 y de la suma de los primeros nueve términos S9 son:

Answer 1

Hola! \ (•◡•) /

Sea la progresión aritmética de razón "r"

$a_{1},a_{2},a_{3}, a_{4} , a_{5} , a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}$,

podemos escribir la progresión de la siguiente manera

$a_{1},a_{1} + r, a_{1} }+ 2r,a_{1} + 3r, a_{1} }+ 4r,a_{1} + 5r, a_{1} }+ 6r,a_{1} + 7r, a_{1} }+ 8r$

Y la suma estaría expresado por

$9 a_{1} + (r+2r+3r+...+8r)\\ \\ 9a_{1} +36r$

El quinto término es 18 y el noveno 34, entonces

$a_{5} =18= a_{1} + 4r.........(1)\\ \\ a_{9} = 34= a_{1} + 8r..........(2)$

Restamos la ecuación (2) con la ecuación (1)

$16= 4r \\ \\ r = 4$

Ahora reemplazamos r en cualquiera de las ecuaciones

$a_{1}+4r = 18\\ \\ a_{1} = 18-16\\ \\ a_{1} = 2$

La suma será

$S = 9a_{1} + 36r\\ \\ S=9(2) + 36(4)\\ \\ S = 18 + 144\\ \\ S = 162$

Rpta. La suma de los primeros nueve términos es 162