Question

Si el promedio y la varianza de una población compuesta por los números 2, 3, a
y b son 4 y 2,5 respectivamente, entonces el valor de (a^ 2 + b^ 2) es
A) 225
B) 61
C) 76
D) 121
E) ninguno de los anteriores.
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Para resolver este ejercicio, primeramente debemos despejar a+b de la fórmula del promedio o media para conocer su valor:

Sabemos que la media es igual a la sumatoria de los datos entre la cantidad de datos en cuestión:

$\frac{2+3+a+b}{4} = 4$

2+3+a+b= 16

A+b= 11

Respecto a la varianza, la obtenemos de la siguiente manera: la sumatoria del valor observado menos el promedio, al cuadrado, entre la cantidad de datos.

$\frac{(4-2)^{2} +(4-3)^{2}+(4-a)^{2}+(4-b)^{2}}{4} = 2,5$

$\frac{2^{2}+1^{2}+16-8a+a^{2}+16-8b+b^{2}}{4} = 2,5$

Operamos iguales y despejamos:

37+a²+b²-8a-8b =10

Despejamos a+b:

a²+b²= 10-37+8a+8b

a²+b²= -27+8(a+b)

Ahora, considerando que a+b=11, como obtuvimos en el primer paso:

a²+b²= -27+8(11)

a²+b²= 61

Por lo que, la opción correcta es la B.

Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas