Question

si desea elevar un cuerpo de 1000 kg utilizando una elenadora hidraulica de plato grande circular de 50 cm de radio y plato pequeño circular de 8 cm de radio calcula cuanta fuerza hay que hacer en el embolo pequeño

Answer 1

La fuerza que se debe ejercer sobre el émbolo pequeño o menor es de 250.88 N

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos o platos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos o platos uno pequeño o el émbolo o plato menor de un lado y el émbolo o plato mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo o plato de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo o plato de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación:

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Datos

$\bold{ m_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Masa sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{1000 \ kg}$

$\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo mayor}\ \ \ \bold{50 \ cm}$

$\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo menor}\ \ \ \bold{8 \ cm}$

Luego por enunciado sabemos que se desea elevar sobre el émbolo grande o mayor un cuerpo cuya masa es de 1000 kilogramos

Siendo

$\bold{ m_{B } = 1000 \ kg }$

Hallamos la fuerza peso que se ejerce en el émbolo mayor

Por la Segunda Ley de Newton

$\large\boxed{ \bold{ F= m \ . \ a }}$

Donde

$\bold{ m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional }$

Siendo

$\bold{ m_B } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa sobre \'embolo mayor }\ \ \ \bold{1000 \ kg }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional }\ \ \ \bold{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{F_{B} = 1000 \ kg \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{F_{B} = 9800 \ kg \ . \ \frac{m}{s^{2} } }}$

$\bold{1 \ N = 1 \ kg \ . \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 9800 \ N }}$

La fuerza ejercida en el émbolo mayor o grande es de 9800 N

Evaluamos las superficies de los émbolos

Determinamos la superficie del émbolo mayor

Embolo Mayor

El émbolo mayor tiene un radio de 50 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ (50 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ 2500 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = 2500 \pi \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo mayor es de 2500 π centímetros cuadrados

Hallamos la superficie del émbolo menor o pequeño

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un radio de 8 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ (8 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ 64 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = 64 \pi \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo menor es de 64 π centímetros cuadrados

Calculamos la fuerza que se debe ejercer en el émbolo pequeño o menor

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }\ \ \ \bold {64 \ \pi \ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold {9800 \ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \ \bold {2500 \ \pi \ \ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ 64\ \pi \ cm ^{2} } = \frac{ 9800 \ N }{ 2500\ \pi \ cm ^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 9800 \ N \ . \ 64\ \pi \ cm ^{2} }{ 2500\ \pi \ cm ^{2}} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 9800 \ N \ . \ 64\not \pi \not cm ^{2} }{ 2500\not \pi \not cm ^{2}} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{9800 \ . \ 64 }{2500} \ N }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{627200 }{2500} \ N }}$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} =250.88 \ N }}$

Luego la fuerza que se debe ejercer sobre el émbolo pequeño o menor es de 250.88 N