Question

si (AUB) tiene 512 subconjuntos y A tiene 32 subconjuntos ¿cuantos elementos tiene B si A interseccion B tiene 4 subconjuntos ?

Answer 1

Primero debes saber que la cardinalidad o la cantidad de sub-conjuntos que se pueden formar de un determinado conjunto es igual a 2ⁿ , donde n es la cardinalidad o número de elementos que tiene dicho conjunto primario , ejemplo:
A={ 1,7} 
¿ Cuántos sub-conjuntos tiene el conjunto A?
 P(A) = { {1}, {7} , {1,7}, {∅} } 
"P(A)" se denomina conjunto potencia de A (osea un nuevo conjunto formado por todos los posibles sub-conjuntos que se puedan formar con los elementos de A )  y como puedes ver tiene 4 elementos , lo que también se obtiene aplicando la fórmula 2ⁿ = 2² = 4.
 
Sea n la cantidad de elementos en ( AUB), entonces 
N [P( AUB) ] = 2ⁿ = 512
N [P( AUB) ] = 2ⁿ = 2⁹
                         n= 9 
Entonces el conjunto ( AUB) tiene 9 elementos 

Aplicamos lo mismo con el conjunto A
N [P( A) ] = 2ⁿ = 32
N [P( A) ] = 2ⁿ = 2⁵
                     n = 5
El conjunto A tiene 5 elementos 

Nuevamente aplicamos la fórmula ahora con (A∩B) 
N [P(A∩B)  ] = 2ⁿ = 4
N [P(A∩B)  ] = 2ⁿ = 2²
                         n= 2
Así, (A∩B) tiene 2 elementos 

Esta demostrado en lo que respecta a teoría de conjuntos  que :
(AUB) = A +B - (A∩B) 
  9       = 5 + B - 2
         4=   B -2 
        B = 4+2
        B = 6 

El conjunto B tiene entonces 6 elementos .