segundo problema fundamental de la geometria analitica definicion
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El segundo problema de la Geometría Analítica radica en que dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación. Para una curva, dar la condición que deben cumplir es dar una ley a la cual deben obedecer los puntos de la curva. Esto significa que todo punto de la curva debe satisfacer la ley particular de la curva. De acuerdo con esto se define una curva como el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve siguiendo una ley especificada. Así una circunferencia puede definirse como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a un punto fijo de ese plano es constante.
Un lugar geométrico no debe satisfacer necesariamente una sola condición; puede satisfacer dos o más condiciones.
DEFINICIÓN: Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas.
Desde el punto de vista analítico:
DEFINICIÓN: Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma:
Cuyas soluciones reales para los valores correspondientes a “x” y “y” son todas las coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.
De acuerdo con esto, el procedimiento para obtener la ecuación de un lugar geométrico es:
• Se supone que el punto P(x, y) es un punto cualquiera que satisface la condición o condiciones dadas, y por lo tanto, un punto del lugar geométrico.
• Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables “x” y “y”.
• Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida.
EJEMPLOS:
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A(-1, 2) y B(4, -1)
• Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces P debe satisfacer la condición geométrica que los segmentos PA y PB sean iguales en longitud, o sea; que las distancia de P a el punto A y de P al punto B sean iguales:
• Aplicamos la fórmula parta la determinación de las distancias entre puntos:
Como conocemos las coordenadas de los puntos A y B los reemplazamos en las ecuaciones de las distancias:
Como ambas distancias deben ser iguales resulta:
Y de esta forma queda planteada analíticamente la condición geométrica del enunciado del ejercicio:
• Resolvemos esa igualdad:
1. Elevamos a ambos miembros al cuadrado:
2. Desarrollamos los binomios al cuadrado:
3. Simplificamos e igualamos a cero la ecuación:
Dividiendo para 2:
Si graficamos ahora la recta obtenida podemos comprobar que la ecuación corresponde a la mediatriz del segmento AB.
Explicación paso a paso:
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