Question

Sean u,v,wu,v,w vectores de R3R3 y dadas las siguientes expresiones II. Sí u⋅v=w⋅uu⋅v=w⋅u, entonces v=wv=w IIII.Sí u⋅v=0u⋅v=0, entonces u=0u=0 ó v=0v=0 Podemos decir Seleccione una: a. II y IIII son falsas. b. II es verdadera y IIII es falsa. c. II es falsa y IIII es verdadera. d. II y IIII son verdaderas.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para determinar la veracidad de los enunciados, se debe encontrar un caso en donde no se cumpla dicho enunciado y así poder desmentir la afirmación.

1) Si u*v = w*u, entonces v = w?

Como el campo de estudio son los vectores en R3, se hace uso de la definición del producto escalar para el estudio de esta primera afirmación:

U*V = W*U

(Ux, Uy, Uz) * (Vx, Vy, Vz) = (Wx, Wy, Wz) * (Ux, Uy, Uz)

(Ux*Vx) + (Uy*Vy) + (Uz*Vz) = (Ux*Wx) + (Uy*Wy) + (Uz*Wz)

|U| * |V| * Cos(α) = |U| * |W| * Cos(β)

En esta definición se tiene que el producto escalar entre U y V da como resultado que existe un ángulo α entre ambos vectores, y que no necesariamente el vector W es igual al vector V debido a que es posible que sea su simétrico con respecto al vector U.

Ejemplo:

U = (1, 0, 0)

V = (0, 1, 0)

W = (0, -1, 0)

U*V = (1, 0, 0) * (0, 1, 0)

(1*0) + (0*1) + (0*0) = 0

Ahora se desarrolla el producto escalar de W*U

W*U = (0, -1, 0) * (1, 0, 0)

(0*1) + (-1*0) + (0*0) = 0

Con lo cual se demuestra que es posible u*v = w*u con v ≠ w, por lo tanto se concluye que la afirmación es falsa.

2) Sí u*v = 0, entonces u = 0 ó v = 0.

Esta afirmación se resuelve con la definición de un vector y con un producto escalar.

En la definición de un vector se tiene que un vector nulo es aquel cuyo módulo es cero (|U| = 0), y por lo tanto su representación es u = 0.

Con la definición del producto escalar expuesta anteriormente, es posible plantear el siguiente ejemplo:

Sea U = (1, 0, 0) y V = (0, 1, 0) se tiene que:

|U| = 1

|V| = 1

Por lo tanto ninguno de ellos es un vector nulo.

U*V = (1, 0, 0) * (0, 1, 0)

U*V = (1*0) + (0*1) + (0*0)

U*V = 0

Por lo tanto se demostró que con vectores U ≠ 0 y V ≠ 0 se puede conseguir que U*V = 0.

Finalmente se selecciona la opción A, en donde se dice que ambas afirmaciones son falsas.