Question

Sean los triángulos rectángulos △DBC y △ABE rectos en ∠B. Si CE=8, EB=12, DB=10 y AD=20. Determinar el área de la región MEBD.

Answer 1

El área del cuadrilátero MEBD descrito en la figura es 80.

¿Cómo hallar el área del cuadrilátero MEBD?

Podemos comenzar trazando el segmento vertical MF. Como este segmento es paralelo a BC y a CE, se puede aplicar el teorema de Tales. Así, el triángulo AMF es semejante a ABE y el triángulo DMF es semejante a BCD. Podemos establecer una primera relación de semejanza entre AMF y ABE:

$\frac{AB}{AF}=\frac{EB}{MF}$

Luego tenemos también la relación de semejanza entre los triángulos DMF y BCD:

$\frac{BC}{MF}=\frac{DB}{DF}$

Podemos despejar MF de las dos expresiones e igualar:

$MF=EB\frac{AF}{AB}\\\\MF=BC\frac{DF}{DB}\\\\EB\frac{AF}{AB}=BC\frac{DF}{DB}$

Podemos hacer también DF=AF-AD y podemos despejar la longitud de AF:

$EB\frac{AF}{AB}=BC\frac{AF-AD}{DB}\\\\EB\frac{AF}{AB}=BC\frac{AF}{DB}-BC\frac{AD}{DB}\\\\AF\frac{EB}{AB}-AF\frac{BC}{DB}=-BC\frac{AD}{DB}\\\\BC\frac{AD}{DB}=AF(\frac{BC}{DB}-\frac{EB}{AB})\\\\AF=\frac{BC\frac{AD}{DB}}{(\frac{BC}{DB}-\frac{EB}{AB})}=\frac{20\frac{20}{10}}{(\frac{20}{10}-\frac{12}{30})}\\AF=25$

Aquí se hizo BC=EB+CE=12+8=20 y AB=AD+DB=20+10=30. Podemos calcular también la medida de MF:

$MF=EB\frac{AF}{AB}=12\frac{25}{30}=10$

El área del cuadrilátero MEBD es la diferencia entre el área del triángulo ABE de base AB y altura BE y la del triángulo AMD de base AD y altura MF:

$A=\frac{AB\times BE}{2}-\frac{AD\times MF}{2}=\frac{30\times 12}{2}-\frac{20\times 10}{2}\\A=80$

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