Question

Sean a y b números enteros distintos de cero y n un número entero positivo. La
ecuación ax2 - bn = 0, en x, tiene como solución siempre números complejos de
la forma p + qi, con p y q números reales y q ¹ 0, si
A) a < 0 y n es un número impar.
B) a > 0 y n es un número impar.
C) a < 0 y n es un número par.
D) b < 0 y n es un número impar.
E) b < 0 y n es un número par.
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

Si queremos resolver esta pregunta debemos analizar las condiciones que deben cumplir a y n para que la solución de la ecuación presentada en el enunciado pertenezca al conjunto de los números complejos, con parte imaginaria distinta de cero.

Entonces, desarrollamos la ecuación:
$ax^{2} - b^{n} = 0$
$ax^{2} = b^{n}$
$x^{2} = \frac{b^{n}}{a}$

Para que X sea un número complejo con parte imaginaria distinta de cero, $\frac{b^{n}}{a}$ debe ser un número negativo, esto ocurre si se cumple bⁿ > 0  y  a < 0    ó    bⁿ < 0  y  a > 0.

Ahora... Si analizamos bⁿ < 0 y a > 0, se tiene que para que bⁿ < 0, n debe ser impar y b < 0.

Por lo tanto, la opción correcta es la C.

Saludos!

Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas