Question

Sea p(x):2 〖sin〗^2⁡〖(x)-7 sin⁡〖(x)+3=0〗 〗 y x∈[0,π]. La suma de los elementos del conjunto solución Ap(x) es: π 3 π 5/3 7π/6 2 π

Answer 1

La suma de los elementos del conjunto solución para p(x) es: π

Explicación:

Tenemos la expresión 2Sin²(x) - 7Sin(x) + 3 = 0

Hacemos un cambio de variable: z = Sin(x)

Nos queda:

2z² - 7z + 3 = 0

Al aplicar la resolvente nos queda:

$z_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$z=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot \:2\cdot \:3}}{2\cdot \:2}:\quad 3$

$z=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{\left(-7\right)^2-4\cdot \:2\cdot \:3}}{2\cdot \:2}:\quad \frac{1}{2}$

Por lo tanto las soluciones de la ecuación 2z² - 7z + 3 = 0 son:

z₁= 3 y z₂ = 1/2

Invertimos el cambio de variables: z = Sin(x)

Sin(x) = 3 y  Sin(x) = 1/2

La función Sin(x) está definida entre -1 y 1 por lo tanto Sin(x) = 3 queda descartada.

La única solución es Sin(x) = 1/2

Despejamos x

x = Sin⁻¹ (1/2)

Como x∈[0,π] las soluciones son

x = π/6

x = 5π/6

Si sumamos estos valores nos da como resultado:

π/6 + 5π/6 = π