Question

Sea p un número racional tal que 0 < p < 1 y n un número entero mayor que
cero. De las siguientes opciones, ¿cuál representa el mayor número?
A) pn
B) n·pn
C) p^n + 1
D) p^2n
E) (p + 1)^n
Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018 Biologia

Answer 1

En este caso decimos que como "p" es un número racional mayor que 0 y menor que 1, se puede expresar de la forma $\frac{a}{b}$ siempre que "a" sea menor que "b" de forma que el resultado del cociente sea un número decimal menor que 1.

En este sentido, sustituiremos "p" en cada una de las expresiones dadas por el ejercicio:
·$p ^{n} = (\frac{a}{b})^{n}$
·$np^{n} = n(\frac{a}{b})^{n}$
·$p^{n + 1} = (\frac{a}{b})^{n+1}= (\frac{a}{b})^{n}.(\frac{a}{b})^{1}$
·$p^{2n} = (\frac{a}{b})^{2n} = (\frac{a}{b})^{n}.(\frac{a}{b})^{n}$
·$(p + 1)^{n} = (\frac{a}{b} + 1)^{n}$

Y ahora procedemos a comparar:

Las primeras cuatro expresiones tienen como factor común $( \frac{a}{b})^{n}$ por lo que solo debemos comparar los demás factores que forman cada expresión y en este caso la expresión B resulta ser la mayor.

En el caso de la última expresión diremos lo siguiente:

·$np^{n} = n(\frac{a}{b})^{n} = (\frac{ \sqrt[n]{n}.a}{b})^{n}$
·$(p + 1)^{n} = (\frac{a}{b} + 1)^{n} = (\frac{a+b}{b}) ^{n}$

Teniendo en cuenta de que tanto la segunda expresión, como la quinta, tienen el mismo denominador y están elevadas a la misma potencia, comparamos sus numeradores y decimos que la opción E representa al número mayor.

Saludos!


Prueba de Selección Universitaria PSU Chile 2018: Matemáticas