Question

Se tiene una lámina rectangular de dimensiones
a=45cm
por
b=26cm
, con la cual se desea construir una caja con tapa, aplicando sólo dobleces. A continuación, se muestran algunos trazados realizados en la lámina, que al cortarlos o doblarlos debidamente, por las líneas punteadas, genera la caja.



Caja_1.png

Responda sólo la pregunta 3

Pregunta 1: ¿Cuál es el valor de
x
que hace que el volumen sea máximo?

Pregunta 2: ¿Cuál es el valor de
y
que hace que el volumen sea máximo?

Pregunta 3: ¿Cuál es el valor de
z
que hace que el volumen sea máximo?

Sugerencia: para determinar la función del volumen de la caja en términos de una sola variable, exprese las variables
y
,
z
en términos de
x
.



Nota: emplee 3 cifras decimales para realizar sus cálculos numéricos y registrar su respuesta. Emplee punto (.) para las cifras decimales, por ejemplo, 21.354; no agregue espacios, separadores ni punto para indicar miles.

Answer 1

El valor de z que hace máximo al volumen de la caja es 5.312cm.

Explicación paso a paso:

Las dimensiones de la caja resultante serán:

2x+2z=a

y+2z=b

Y su volumen será $V=x.y.z$, para hallar el valor de z que hace que el volumen sea máximo, vamos a poner a 'x' y a 'y' en función de z:

$x=\frac{a-2z}{2}\\y=b-2z\\\\V=xyz=\frac{a-2z}{2}(b-2z).z\\\\V=\frac{1}{2}(ab.z-2az^2-2bz^2+4z^3)$

Esta expresión la vamos a derivar e igualar a cero para hallar el valor de z que hace máximo al volumen:

$ab-4az-4bz+12z^2=0\\\\45.26-4.45-4.26z+12z^2=0\\1170-284z+12z^2=0\\\\585-142z+6z^2=0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$z=\frac{-(-142)\ñ\sqrt{(-142)^2-4.6.585}}{2.6}=\frac{142\ñ78.256}{12}\\\\z=18.355\\z=5.312$

Como es y+2z=26cm, el resultado que tiene sentido físico es z=5.312cm.