Se tiene un cilindro inscrito en una esfera. Si la altura del cilindro es igual al radio de la esfera, y el volumen de la esfera es 288π cm3, calcular el volumen comprendido entre la esfera y el cilindro
Respuestas a la pregunta
DATOS :
h = R ( radio de la esfera )
V esfera = 288π cm3
V comprendido entre la esfera y el cilindro =?
SOLUCION :
Para resolver el ejercicio se aplica la fórmula del volumen de una esfera y del cilindro de la siguiente manera :
V esf = 4*π*R³/3
se despeja R :
R = ∛( 3* Vesf /4π)
R = ∛( 3* 288π cm3/4π)
R = 6 cm
h = 6 cm
aplicando teorema de pitágoras :
6² = 3²+ r² siendo r el radio del cilindro
r = √( 36 -9 ) = √27 = 3√3 cm
V cilindro = πr²*h = π* (3√3 cm )²* 6 cm
V cilindro = 162π cm³
Volumen comprendido entre la esfera y el cilindro = 288π cm3 -162π cm3 = 126π cm³
El volumen pedido es de 126π cm³
Explicación paso a paso:
Volumen de la esfera:
V(esfera) = (4/3)·π·r³
Radio de la esfera:
288π cm³ = (4/3)·π·r³
216 cm³ = r³
r = 6 cm
Radio del cilindro:
Aplicaremos el teorema de Pitágoras, tenemos:
el cateto opuesto es la mitad del radio de la esfera
r₁² =( r₁/2)² + r₂²
La hipotenusa es el radio de la esfera, y el cateto opuesto es la mitad del radio de la esfera, entonces:
6² = 3² + r₂²
27 = r₂²
r² = 27 cm²
Volumen del cilindro:
V(cilindro) = π·r²·h
V(cilindro) = π· 27 cm² · 6 cm
V(cilindro) = 162π cm³
Ahora, el volumen comprendido entre ambos sólidos es su resta de volúmenes, es decir:
V(restante) = V(esfera) - V(cilindro)
V(restante) = 288π cm³ - 162π cm³
V(restante) = 126π cm³
Tenemos que el volumen restante será 126π cm³.
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