Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor y el resto a otras causas, (fallo mecánico...etc.). En estos accidentes, el resultado es mortal el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero.
a) Si se produce un accidente con resultado mortal, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol. (Teorema de Bayes)
b) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes tenga resultado mortal. (Teorema de probabilidad total)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) 78% de probabilidad
b) 25% de probabilidad
La probabilidad de que si se produce un accidente mortal la causa sea por ingesta de alcohol es de 0.78 o 78%. La probabilidad de que uno de los accidentes tenga un resultado mortal es de 0.25 o 25%.
¿Qué es el Teorema de Bayes?
En probabilidad el Teorema de Bayes es una aplicación de la probabilidad condicional, a través del cual se puede determinar la probabilidad de que ocurra un evento puesto que ya ha ocurrido uno anteriormente.
Para determinar la probabilidad condicional, por el Teorema de Bayes se aplica la ecuación:
P(A|B) = (P(B|A)*P(B))/P(B)
Es importante recordar que P(A|B) ≠ P(B|A).
¿Qué es el Teorema de la probabilidad total?
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas. Es más sencillo visualizar la manera de determinarlo si se plantea un diagrama de árbol y va a ser la suma de los diferentes caminos que dan lugar a ese evento.
La ecuación para determinar la probabilidad total es:
P(A∩B) = P(A)*P(B|A)
Planteamiento.
Se realiza un diagrama de árbol (adjunto en la imagen) con los datos conocidos, lo cual facilitará el calculo de las probabilidades.
Al originarse un accidente este puede ser de tres tipos:
- Exceso de alcohol: 65% = 0.65
- Imprudencia del conductor: 25% =0.25
- Y el resto por fallas mecánicas → 1-0.65-0.25 = 0.1 = 10%
Cada accidente tiene dos posibles eventos, que sea mortal o que no: y se conoce la probabilidad condicionada:
Cuando es por exceso de alcohol:
- Mortal: 30% = 0.3
- No mortal: 100%-30% = 70% = 0.7
Cuando es por imprudencia del conductor:
- Mortal: 20% = 0.2
- No mortal: 100%-20% = 80% = 0.8
Cuando es por fallas mecánicas:
- Mortal: 5% = 0.05
- No mortal: 100%-5% = 95% = 0.95
Para determinar la probabilidad de que si se produce un accidente mortal la causa sea por ingesta de alcohol, aplicando el Teorema de Bayes se tiene:
P(IA|M) = (P(M|IA)*P(IA))/P(M)
- P(M|IA): Probabilidad de que hayan muertos dado que el accidente fue por ingesta de alcohol.
- P(IA): Probabilidad de un accidente por ingesta de alcohol.
- P(M): Probabilidad de que uno de los accidentes tenga un resultado mortal.
P(M|IA) = 0.3
P(IA) = 0.65
Para determinar la P(M) se aplica el Teorema de la probabilidad total:
P(M) = P(IA∩M)+P(IC∩M)+P(FM∩M)
P(M) = (0.65*0.3)+(0.25*0.2)+(0.1*0.05)
P(M) = 0.195+0.05+0.005
P(M) = 0.25
La probabilidad de que alguno de los accidentes termine con un resultado mortal es de 0.25 o 25%.
P(IA|M) = (0.3*0.65)/0.25
P(IA|M) = 0.195/0.25
P(IA|M) = 0.78 = 78%
La probabilidad de que al tener un resultado mortal el accidente sea por ingesta de alcohol es de 0.78 o 78%.
Para conocer más sobre el teorema de Bayes y de probabilidad total visita:
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