Question

Se quiere diseñar una caja abierta (sin tapa) de cartón corrugado, de base cuadrada y un área superficial (área total) de 360 m^2.
¿Qué dimensiones maximizarían el volumen de la caja?
¿Cuánto es ese máximo volumen?

Answer 1

Las dimensiones que maximizarían el volumen de la caja son:

• Largo = ancho = 10.95 m
• alto =  21,9 m

El máximo volumen que puede tener la caja de cartón corrugado es:

2629.07 m³

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?

Es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × alto

¿Cuál es el área de un cuadrado?

El área de un cuadrado, es el producto o cuadrado de su longitud.

A = (largo)(ancho)

Siendo;

• Largo = ancho = x

Sustituir;

A = x²

¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?

Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
• Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.

¿Qué dimensiones maximizarían el volumen de la caja?

Datos;

• At = 360 m²
• altura = y
• x = ancho = largo

Siendo;

At = Ab + 4Al

• Ab = x²
• Al = (x)(y)

Sustituir;

360 = x² + xy

360 = x(x + y)

Despejar y;

y = 360/x - x

y = (360 - x²)/x

Sustituir en la fórmula del volumen;

V = (x²)(y)

Sustituir y;

V = x² [(360 - x²)/x]

V = x (360 - x²)

V = 360x - x³

Aplicar primera derivada;

V' = d/dx(360x - x³)

V' = 360 - 3x²

Aplicar segunda derivada;

V'' = d/dx (360 - 3x²)

V'' = -6x

Igualar a cero la primera derivada;

360 - 3x² = 0

3x² = 360

x² = 360/3

Aplicar raíz cuadrada;

x = √120

x = 10,95 m

Sustituir;

y = (360 - √120²)/√120

y = 4√30

y = 21,9 m

¿Cuánto es ese máximo volumen?

Evaluar x = √120 en V;

V = 360(√120) - (√120)³

V = 2629.07 m³

Puedes ver más sobre el máximo volumen aquí:  https://brainly.lat/tarea/32983847

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