Se quiere diseñar una caja abierta (sin tapa) de cartón corrugado, de base cuadrada y un área superficial (área total) de 360 m^2.
¿Qué dimensiones maximizarían el volumen de la caja?
¿Cuánto es ese máximo volumen?
Respuestas a la pregunta
Las dimensiones que maximizarían el volumen de la caja son:
- Largo = ancho = 10.95 m
- alto = 21,9 m
El máximo volumen que puede tener la caja de cartón corrugado es:
2629.07 m³
¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?
Es el producto del área de la base por la altura.
V = Ab × alto
¿Cuál es el área de un cuadrado?
El área de un cuadrado, es el producto o cuadrado de su longitud.
A = (largo)(ancho)
Siendo;
- Largo = ancho = x
Sustituir;
A = x²
¿Cómo se obtiene los máximos y mínimos en una función?
Es la aplicación de derivada una y dos veces hasta para obtener los puntos máximos y mínimos de la función.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico hay un mínimo.
- Si la segunda derivada es negativa en el punto crítico hay un máximo.
¿Qué dimensiones maximizarían el volumen de la caja?
Datos;
- At = 360 m²
- altura = y
- x = ancho = largo
Siendo;
At = Ab + 4Al
- Ab = x²
- Al = (x)(y)
Sustituir;
360 = x² + xy
360 = x(x + y)
Despejar y;
y = 360/x - x
y = (360 - x²)/x
Sustituir en la fórmula del volumen;
V = (x²)(y)
Sustituir y;
V = x² [(360 - x²)/x]
V = x (360 - x²)
V = 360x - x³
Aplicar primera derivada;
V' = d/dx(360x - x³)
V' = 360 - 3x²
Aplicar segunda derivada;
V'' = d/dx (360 - 3x²)
V'' = -6x
Igualar a cero la primera derivada;
360 - 3x² = 0
3x² = 360
x² = 360/3
Aplicar raíz cuadrada;
x = √120
x = 10,95 m
Sustituir;
y = (360 - √120²)/√120
y = 4√30
y = 21,9 m
¿Cuánto es ese máximo volumen?
Evaluar x = √120 en V;
V = 360(√120) - (√120)³
V = 2629.07 m³
Puedes ver más sobre el máximo volumen aquí: https://brainly.lat/tarea/32983847
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