Question

Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular, el volumen del cilindro sin tapa es 32 pulgadas3. Hallar las dimensiones que debe de tener para que la cantidad de lamina utilizada sea la mínima.
Alguien ayudeme con ese porfa

Answer 1

Las dimensiones del envase tienen que ser de 2,17 pulgadas de radio por 2,17 pulgadas de altura.

Explicación:

Si el envase es cilíndrico, su volumen es:

$V=\pi.r^2h$

El área superficial considerando que no tiene tapa, y que será el área de lámina utilizada para construir el recipiente es:

$A=\pi.r^2+2\pi.r.h$

En ambos casos, r es el radio y h es la altura del envase. Podemos despejar la altura de la primera expresión y reemplazarla en la segunda:

$h=\frac{V}{\pi.r^2}\\\\A=\pi.r^2+2\pi.r\frac{V}{\pi.r^2}=\pi.r^2+2\frac{V}{r}=\frac{\pi.r^3+2V}{r}$

Para hallar el radio del envase que hace mínima el área de lámina a utilizar, tenemos que derivar e igualar a cero:

$A'=\frac{3\pi.r^2.r-(\pi.r^3+2V)}{r^2}=0\\\\3\pi.r^3-\pi.r^3-2V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{2V}{2\pi}}=\sqrt[3]{\frac{2.32in^3}{2\pi}}=2,17in$

Y la altura del envase es:

$h=\frac{32in^3}{\pi.(2,17in)^2}=2,17in$