Se producira una caja, abierta abierta por la parte superior, de una pieza cuadrada de carton cortando un cuadrado de cada esquina y doblando los lados. En la figura los cuadradrados blancos se han cortado y el carton se ha doblado a lo largo de las lineas discontinuas. Dado que la pieza de carton mide 40 cm por lado, encuentre las dimensiones de la caja con que se obtiene el volumen maximo. ¿Cual es el volumen maximo?
Respuestas a la pregunta
Al cortar los cuadrados de las esquinas de la pieza de cartón se obtiene una caja de base cuadrada de 80/3 cm de lado y altura 20/3 cm, con un volumen máximo de 4740,74 cm³.
Explicación paso a paso:
El volumen se calcula multiplicando el área de la base por la altura.
Dado que la base es un cuadrado, su área es el cuadrado de la longitud del lado.
En este caso, al eliminar un cuadrado de lado x en cada esquina y doblar estos lados hacia arriba, la caja tiene dimensiones:
Lado: 40 - 2x cm
Altura: x cm
Por lo tanto, el volumen es el producto de:
V = (40 - 2x)² x ⇒ V = 4x³ - 160x² + 1600x cm³
La función objetivo es el volumen de la caja.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de V.
V’ = 12x² - 320x + 1600
V' = 0 ⇒ 12x² - 320x + 1600 = 0 ⇒ 3x² - 80x + 400 = 0 ⇒
(x - 20)(x - 20/3) = 0 ⇒ x = 20 o x = 20/3
x = 20 anula el volumen, por tanto x = 20/3 es el punto crítico de interés o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
V'' = 24x - 320
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
V'' = 24(20/3) - 320 < 0 x = 20/3 es un máximo de la función V.
Lado = 40 - 2(20/3) = 80/3 cm
Altura = 20/3 cm
V(20/3) = (80/3)2(20/3) = 4740,74 cm³
Al cortar los cuadrados de las esquinas de la pieza de cartón se obtiene una caja de base cuadrada de 80/3 cm de lado y altura 20/3 cm, con un volumen máximo de 4740,74 cm³.
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