Question

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, si la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x tiene por solución homogénea la expresión y_h=c_1 cos⁡(lnx)+c_2 sen(lnx), los respectivos Wronskianos w1 y w2 equivalen.

(desarrollar el procedimiento completo)

Answer 1

RESPUESTA:

El Wronskiano no es más que un determinante, de tal manera que debemos plantear nuestra ecuación diferencial y nuestra ecuación característica, tenemos que:

x²·y'' + xy' + y = 2x

Simplificamos nuestra ecuación diferencial dividiendo todo entre x², tenemos:

y'' + y'/x + y/x² = 2/x

Nuestra ecuación característica es igual a:

yh = C₁·cos(lnx) + C₂·Sen(lnx)

El Wronskiano viene dado por las matrices:

$W_1 = \left[\begin{array}{ccc}0&y_2&\\f(x)&y'_2&\\\end{array}\right]$

$W_2 = \left[\begin{array}{ccc}y_1&0&\\y'_1&f(x)&\\\end{array}\right]$

Teniendo la matriz lo que debemos proceder es a buscar las funciones y sus derivadas, tenemos que:

• y₁ = cos(lnx)  
• y₂ = sen(lnx)
• f(x) = 2/x

Ahora buscamos las derivadas, tenemos:

• y'₁ = -sen(lnx)·1/x
• y'₂ = cos(lnx)·1/x

Ahora planteamos las matrices.

$W_1 = \left[\begin{array}{ccc}0&sen(lnx)&\\2/x&cos(lnx)/x&\\\end{array}\right]$

Resolvemos y tenemos que:

W₁ = -Sen(lnx)·x/2

$W_2 = \left[\begin{array}{ccc}cos(lnx)&0&\\-sen(lnx)&x/2&\\\end{array}\right]$

W₂ = x/2·Cos(lnx)

Obteniendo de esta manera los valores pedidos.