Question

SE PATEA UN BALÓN FORMANDO CON LA HORIZONTAL UN ANGULO DE 60 GRADOS Y VA CON UNA VELOCIDAD DE 10 M/S . DETERMINA LA DISTANCIA RECORRIDA EN EL EJE X , EL TIEMPO DE SUBIDA Y DE VUELO​

Answer 1

El alcance horizontal máximo del balón es de 8.66 metros, siendo la distancia recorrida en el eje x

El tiempo de subida es de 0.866 segundos, siendo el tiempo de vuelo de 1.732 segundos  

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (10 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{100\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{100\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 50\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 50\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ \not10 \ . \ 5\ \ . \ \sqrt{3} }{ \not10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =5\sqrt{3} \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =8.66 \ metros }}$

El alcance horizontal máximo del balón es de 8.66 metros

Hallamos el tiempo de subida

La ecuación del tiempo de subida de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{S} =\frac{ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{s} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de subida del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{ (10 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{10\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{10\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{\not10 \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{\not10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{s} =\frac{ \sqrt{3} }{2 } \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{s} =0.866 \ segundos }}$

El tiempo de subida del balón es de 0.866 segundos

Calculamos el tiempo de vuelo

Conociendo el tiempo de subida hallamos el tiempo de vuelo del proyectil

Dado que

$\large\textsf{El tiempo de vuelo es }$

$\large\boxed {\bold {t_{V} = 2\ t_{subida} }}$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{\sqrt{3} }{2} \ s } }$

$\boxed {\bold {t_{V} = 2 \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right) \ s }}$

$\boxed {\bold {t_{V} = \not2 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} \ s }}$

$\large\boxed {\bold {t_{v} =\sqrt{3} \ s }}$

$\large\boxed {\bold {t_{v} =1.732 \ s }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 1.732 segundos

Podemos determinar la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(10 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{300}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{75 }{20 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 3.75\ metros }}$

La altura máxima  alcanzada es de 3.75 metros