Question

se necesita formar un rectángulo de tal forma que su perimetro sea de 120 metros. determina la longitud de sus lados para que su area sea maxima. (escribe los numeros de menor a mayor)

A) las longitudes son ________ y _________

B) la longitud del area maxima es _________m^2

Answer 1

Hemos de buscar las dimensiones del rectángulo que difieran lo menos posible.

Si el perímetro ha de ser de 120 m. imagina que en lugar de un rectángulo fuera un cuadrado. Con ello sabríamos que cada lado del cuadrado mediría la cuarta parte de esa cantidad.  120 : 4 = 30 m.

Pues ahora añadimos un metro a esa medida para conseguir el largo y restamos un metro para conseguir el ancho. Es decir que el rectángulo que nos daría el área máxima sería:
Largo = 31
Ancho = 29

Si calculamos el perímetro:  
2×Largo = 2×31 = 62
2×Ancho = 2×29 = 58
62+58 = 120

El área máxima sería el producto de las dos dimensiones:
31×29 = 899 m²

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

Base = 30 m, altura = 30 m.

Explicación paso a paso:

Sean x e y los lados. El perímetro es 2x + 2y = 120 m.  

O también x + y = 60 m.

De donde y = 60 – x

Y el área es S(x) = xy = x(60-x) = -x² + 60x

Luego S(x) será máxima en el valor de x que anule la derivada:

s’(x) = -2x + 60 = 0

x = 30

Y como la derivada segunda es S”(x) = -2, se trata de un máximo.

Luego el área máxima es el paralelogramo uno de cuyos lados es 30 m; pero como entonces el otro lado, y = 60-x = 60-30 = 30 m mide lo mismo, el paralelogramo de área máxima es el cuadrado de lado 30 m.