Question

Se desea elevar un cuerpo de 700 kg utilizando una elevadora hidráulica de plato grande circular de 70 cm de radio y de plato pequeño circular de 15 cm de radio. Calcula cuanta fuerza hay que hacer el embolo pequeño

Answer 1

La fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo pequeño (menor) es de 315 N

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Solución

Hallamos la fuerza peso del cuerpo

Por la Segunda Ley de Newton

$\large\boxed{ \bold{ F= m \ . \ a }}$

Donde

$\bold{ m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional }$

Siendo

$\bold{ m } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }\ \ \ \bold{700 \ kg }$

$\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional }\ \ \ \bold{9,8 \ m/s^{2} }$

Reemplazamos y resolvemos  

$\boxed{ \bold{ F_{B} = 700 \ kg \ . \ 9.8 \ m/s^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{B} = 6860 \ kg \ . \ m/s^{2} }}$

$\bold{1 \ N = 1 \ kg \ . \ m/s^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 6860 \ N }}$

La fuerza peso del objeto es de 6860 N

Evaluamos las superficies de los émbolos

Determinamos la superficie del émbolo grande (mayor)

Embolo Mayor

El émbolo mayor tiene un radio de 70 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ (70 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ 4900 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{B} = 15393.80 \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo mayor es de aproximadamente 15393.80 centímetros cuadrados

Determinamos la superficie del émbolo pequeño (menor)

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un radio de 15 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ r ^2} }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ (15 \ cm ) ^2 }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ 225 \ cm ^2 }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = 706.86 \ cm ^2 }}$

La superficie o área del émbolo menor es de aproximadamente 706.86 centímetros cuadrados

Determinamos la fuerza que se debe ejercer en el émbolo pequeño

Estableciendo la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ 706.86 \ cm ^{2} } = \frac{ 6860 \ N }{15393.80 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 6860 \ N \ . \ 706.86 \ \not cm^{2} }{ 15393.80 \not cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} =315.0008 \ kg \ . \ m/s^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} =315 \ kg \ . \ m/s^{2} }}$

$\bold{1 \ N = 1 \ kg \ . \ m/s^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} =315 \ N }}$

Luego la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo pequeño (menor) es de 315 N