Question

Se desea cortar una plancha de acero inoxidable, de 150 cm de ancho por 300 cm de largo, en piezas iguales de 0.9 m2 de área. El diseñador está decidiendo entre hacer los cortes en forma de círculo, triángulo equilátero, cuadrado o hexágono regular. El perímetro debe ser el menor posible porque luego del corte hay que hacer un limado especial a los bordes de las piezas para que los usuarios no sientan filos que puedan lastimarlos. Cada pieza se venderá en US$20 pero el limado cuesta US$ 2 por centímetro.
¿Qué forma debe elegir el diseñador para los cortes? Completa el siguiente cuadro para ayudarlo a tomar la decisión.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Answer 2

El área de una figura geométrica bidimensioal es la superficie que esta ocupa en un plano, y depende del número de lados, relación entre estos y dimensiones de los mismos.

Por su parte, el perímetro es la longitud, medida de forma lineal, que miden el conjunto de sus lados.

Con una plancha de acero disponible de 150cm de ancho por 300cm de largo, resulta mas rentable cortar la piezas en forma de cuadrado.

Cada figura geométrica tiene sus respectivas fórmulas para cálculo de área y perímetro, así como un arreglo posible para maximizar el número de piezas dentro del área disponible.

a. Para el caso de círculos.

Tenemos que el área se determina por la fórmula,

$A=\pi *r^{2}$, donde $A$ es el área, y $r$ es el radio.

Dado que contamos con el área, calculamos el radio necesario.

$r=\sqrt{A/\pi } =\sqrt{0,9m^{2}/\pi} =0,54m$

Una vez con el radio, calculamos el perímetro,

$P=2*\pi*r=2*\pi*0,54m=3,36m$

para determinar el número de piezas que caben a lo largo, $n_{l}$, y a lo ancho, $n_{a}$, dividimos el largo y el ancho entre el diámetro del círculo.

$n_{l}=l/d=l/2r=3m/2*0,54m=2,78$

$n_{a}=a/d=a/2r=1,5m/2*0,54m=1,38$

Como se requieren piezas enteras, sólo tomamos el entero de estos resultados, teniendo entonces 2 piezas a lo largo, y sólo 1 a lo ancho, por tanto caben sólo 2 piezas.

Ya sabiendo el número de piezas, determinamos la longitud a limar, $L$, el costo de limado, $C$, el monto de la venta, $V$, y la ganancia o utilidad, $U$.

$L=P*n$, donde $P$ es el perímetro y $n$ el número de piezas

$L=3,36m*2=6,72m$

$C=L*2\frac{usd}{m} =6,72m*2\frac{usd}{m} =13,44usd$

$V=n*20usd=2*20usd=40usd$

$U=V-C=40usd-13,44usd=26,56usd$

b.- En el caso de triángulos

Tenemos que el área de un triángulo equilátero se calcula de la siguiente forma,

$A=l^{2}*\sqrt{3} /4$, donde $A$ es el área, y $l$ es la longitud se sus lados.

Tenemos el área, calculamos la longitud de los lados,

$l=2\sqrt{\frac{A}{\sqrt{3} } } =2\sqrt{\frac{0,9m^{2}}{\sqrt{3} } } =1,44m$

Calculamos el perímetro, igual a la suma de sus lados,

$P=l+l+l=3l=3*1,44m=4,32m$

Para determinar el número de piezas hacemos una consideración especial. Con el círculo no importa como se coloquen las piezas, pero con el triángulo, si la base se coloca sobre el ancho o sobre el largo de la plancha  si existe una diferencia.

Si la base se coloca sobre el ancho, sólo caben 2 piezas, pero si se coloca la base sobre el largo, caben 2 piezas, una al lado de la otra, y una tercera,invertida en el espacio que queda entre estas. Por tanto, se pueden cortar 3 piezas.

Determinamos entonces costo de limado, venta y utilidad.

$L=P*3=4,32m*3=12,98m\\C=L*2usd/m=12,98m*2usd/m=25,95usd\\V=n*20usd=3*20usd=60usd\\U=V-C=60usd-25,95usd=34,05usd$

c.- Caso de cuadrados.

Como sabemos, el área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud de sus lados.

$A=l^{2}$

Conociendo ya el área, calculamos la longitud de sus lados

$l=\sqrt{A} =\sqrt{0,9m^{2}} =0,95m$

Siendo cuadrado, el perímetro es 4 veces la longitud de sus lados.

$P=4*l=4*0,95m=3,8m$

El número de piezas, a lo largo y a lo ancho, lo determinamos dividiendo el largo y el ancho, respectivamente, entre la longitud de los lados,

$n_{l}=3m/0,95m=3,16\\n_{a}=1,5m/0,95m=1,58$

caben entonces 3 piezas a lo largo, con sólo 1 a lo ancho, para un total de 3  piezas.

Calculamos entonces el costo de limado, venta y utilidad.

$L=3*P=3*3,8m=11,4m\\C=L*2usd/m=11,4m*2usd/m=22,8usd\\V=3*20usd=60usd\\U=V-C=60usd-22,8usd=37,2usd$

d.- En el caso de hexágonos.

Los hexágono regulares tienen sus seis lados iguales, y pueden formarse con la unión de seis triángulos equiláteros. Ya conocemos como calcular el área de un triángulo rectángulo, por tanto, para el hexágono regular.

$A=6*l^{2}\sqrt{3}/4=3l^{2}\sqrt{3}/2$

De la misma forma, ya sabemos el área, por lo cual,

$l=\sqrt{\frac{2A}{3\sqrt{3} } }=\sqrt{\frac{2*0,9m^{2}}{3\sqrt{3} } }=0,59m$

El perímetro será entonces seis veces el lado,

$P=6*l=6*0,59m=3,53m$

Para este caso, tenemos que el ancho del hexágono es igual a dos veces su lado, dimensiones con las cuales sólo podemos cortar 2 figuras.

Calculamos entonces la utilidad,

$L=2*P=2*3,53m=7,06m\\C=2*L=2usd/m*7,06m=14,12usd\\V=2*20usd=40usd\\U=V-C=40usd-14,12usd=25,88usd$

Si bien el menor perímetro por pieza lo tiene el círculo, con 3,36m, lo cual nos resulta en el menor costo de limado, 13,45usd; El número de piezas que se pueden colocar en la plancha, sólo 2, limita la utilidad a 26,55usd.

Por su parte, con un perímetro un poco mas largo, 3,8m por pieza, y un costo de limado considerablemente mayor, 22,8usd, el hecho de que se puedan cortar 3 piezas cuadradas, resulta en una mayor utilidad, de 37,23usd.  

mas sobre área y perímetro, https://brainly.lat/tarea/27375676