Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros. En cada rebote la bola se eleva los 2/3 de la altura desde la que cayó por última vez. ¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resistencia del aire?
Respuestas a la pregunta
Se forma una progresión geométrica de primer elemento 100 y razón 2/3
La suma de n elementos es:
S = a1 (1 - rⁿ) / (1 - r)
Nos queda
Sn = [1 - (2/3)ⁿ] / (1 - 2/3)
Las sucesivas potencias de un número menor que 1 son cada vez menores.
Cuando n es lo suficientemente grande (2/3)ⁿ ≅ 0
S = 100 / (1 - 2/3) = 300
Ahora bien, excepto para la primera caída, en cada salto recorre el doble de distancia, una subida y una bajada. Por eso restamos los 100 m iniciales y al resto lo multiplicamos por 2
300 - 100 = 200; 200 . 2 = 400
A estos 400 m le sumamos la primera caída: 400 + 100 = 500 m
Recorrió 500 m hasta detenerse.
Mateo
La bola hace un recorrido de 500 metros hasta detenerse
Explicación paso a paso:
Se deja caer una bola desde una altura de 100 metros
a₁= 100m
d= 2/3
Progresión geométrica:
aₙ= a₁ * dⁿ⁻¹
Primer rebote:
a₁ = 100*2/3⁰
a₁ = 100 m
Segundo rebote:
a₂ = 100*2/3¹
a₂ = 66,67 m
Así sucesivamente
Si d es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica se reduce a:
Sₙ = a₁/(1-d)
Sₙ = 100 / (1 - 2/3)
Sₙ= 300
¿Qué distancia recorre la bola hasta que queda en reposo por la resistencia del aire?
Con excepción de la primera caída, en cada salto recorre el doble de distancia, una subida y una bajada. Por eso restamos los 100 m iniciales y al resto lo multiplicamos por 2 y le sumamos los metros iniciales de caída
Distancia recorrida: (300 - 100)*2 + 100 = 500 m
Por lo tanto, la bola hace un recorrido de 500 metros hasta detenerse
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