Question

Se conoce que dos de las raíces de la ecuación con coeficientes reales $x^{3} + p x^{2} +q x+r$ son 1-i y -2; entonces, la suma de los coeficientes p + q + r es:

Answer 1

Reemplazamos x = 1 - i

(1 - i)³ + p (1 - i)² + q (1 - i) + r = 0; quitamos los paréntesis (lo hago directamente)

q + r - 2 - i (2 p + q + 2) = 0;
Según el enunciado los coeficientes son reales.

Un complejo es nulo si su parte real e imaginaria son nulas.

q + r - 2 = 0 (1)

2 p + q + 2 = 0 (2)

Reemplazamos x = - 2

(- 2)³ + p (- 2)² +q (- 2) + r = 0, nos queda:

4 p - 2 q + r - 8 = 0 (3)

Las ecuaciones (1), (2) y (3) forman un sistema de 3 incógnitas.

Resuelvo directamente: p = 0, q = - 2, r = 4

De modo que la suma pedida es 0 - 2 + 4 = 2

Saludos Herminio