Question

Revisa si las siguientes rectas son perpendiculares. Recta 1: A(-1,-3) B(-5,-2). Recta 2: C(-4,-4) D(-3,0)

Answer 1

Se concluye que las rectas son perpendiculares quedando demostrado mediante el cálculo de sus respectivas pendientes.

Para saber si las rectas son perpendiculares determinamos primero la pendiente de cada una de las rectas

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente de una recta se define como la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ vertical }{ cambio \ horizontal } }}$

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas

$\bold { A\ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B\ (x_{2},y_{2} )}$

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Por tanto la pendiente de una recta está dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener su pendiente

A) Determinamos la pendiente de la recta 1 que pasa por los pares ordenados:

$\bold { A\ ( -1,-3) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B\ ( -5,-2) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{ Reemplazamos}$

$\boxed{\bold {m_{AB} = \frac{ -2 - (3) }{ -5 - (-1) } }}$

$\boxed{\bold {m_{AB} = \frac{ -2 + 3 }{ -5 +1 } }}$

$\boxed{\bold {m_{AB} = \frac{ 1 }{ -4 } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{AB} =- \frac{ 1 }{ 4 } }}$

B) Determinamos la pendiente de la recta 2 que pasa por los pares ordenados:

$\bold { C\ ( -4,-4) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ D\ ( -3,0) \ ( x_{2},y_{2}) }$

Hallamos la pendiente

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{ Reemplazamos}$

$\boxed{\bold {m_{CD} = \frac{ 0 - (-4) }{ -3 -(-4) } }}$

$\boxed{\bold {m_{CD} = \frac{ 0+4 }{ -3 +4 } }}$

$\boxed{\bold {m_{CD} = \frac{ 4 }{ 1 } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{CD} =4 }}$

Luego de hallar las pendientes de ambas rectas se observa que sus pendientes son inversas y cambiadas de signo

$\large\boxed{\bold {m_{AB} =- \frac{ 1 }{ 4 } }}$     $\large\boxed{\bold {m_{CD} =4 }}$

$\large\boxed{\bold {m_{AB} =- \frac{ 1 }{ m_{CD} } }}$

Se concluye que las rectas son perpendiculares

Se puede observar el trazado de las rectas en el gráfico adjunto