Question

Resolver por determinante, aplicando la regla de Kraner.
4×+7y+5z= -2
6×+3y+7z= 6
× - y + 9z= -21

Answer 1

Primero hallamos el determinante de la matriz. (que debe ser distinto de cero) Se halla tomando los valores de cada una de las incógnitas. 

                                             x      y     z       I     t. independientes
4× + 7y + 5z = -2                  4     7     5       I    -2
6× + 3y+ 7z = 6                    6     3     7       I      6
× - y + 9z = -21                     1    -1    9       I    -21  
  
$\left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] = -238$

(4*3*9)+(7*7*1)+(5*6*(−1) −(1*3*5)−((−1)*7*4)−(9*6*7)=
108+49-30-15+28-378= - 238

Para hallar el valor de x sustituimos la columna de los valores de x por los valores independientes y dividimos por la matriz del sistema. 

$x= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }$

$\left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] =$
= ((−2)*3*9)+(7*7*(−21))+(5*6*(−1))−((−21)*3*5)−((−1)*7*(−2))−(9*6*7)=
= - 54 -1029 -30 +315 - 14 - 378= −1190

$x = \frac{-1190}{-238} = 5$

Hacemos lo mismo para hallar el valor de y.  Cambiamos la columna de los valores de la y por los términos independientes. 
$y= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&5&7\\1&-21&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }$

$\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&6&7\\1&-21&9\end{array}\right] =$
= (4*6*9)+((−2)*7*1)+(5*6*(−21))−(1*6*5)−((−21)*7*4)−(9*6*(−2))=
=216 -14 - 630 - 30 + 588 + 108 = 238

$y= \frac{238}{-238} = - 1$

Y por último hacemos lo mismo para hallar el valor de la z 

$z = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }$

$\left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] =$
=(4*3*((−21))+(7*6*1)+((−2)*6*(−1))−(1*3*(−2))−((−1)*6*4)−((−21)*6*7=
=- 252 + 42 + 12 + 6 + 24 + 882 = 714

$z= \frac{714}{-238} = -3$


Solución 
x = 5
y =  -1 
z = - 3

Comprobamos 
4× + 7y + 5z = - 2       4 (5) + 7(-1) + 5 (-3) =  20 - 7 - 15 = - 2 
6× + 3y + 7z =  6         6(5) + 3(-1) + 7(-3) =  30 - 3 - 21 = 6
×  -  y + 9z = -21          5 - (-1) + 9(-3) = 5 + 1 - 27 = -21