Resolver por determinante, aplicando la regla de Kraner.
4×+7y+5z= -2
6×+3y+7z= 6
× - y + 9z= -21
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3
Primero hallamos el determinante de la matriz. (que debe ser distinto de cero) Se halla tomando los valores de cada una de las incógnitas.
x y z I t. independientes
4× + 7y + 5z = -2 4 7 5 I -2
6× + 3y+ 7z = 6 6 3 7 I 6
× - y + 9z = -21 1 -1 9 I -21
![\left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] = -238 \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] = -238](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D+-238)
(4*3*9)+(7*7*1)+(5*6*(−1) −(1*3*5)−((−1)*7*4)−(9*6*7)=
108+49-30-15+28-378= - 238
Para hallar el valor de x sustituimos la columna de los valores de x por los valores independientes y dividimos por la matriz del sistema.
![x= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] } x= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D++%5Cfrac%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-2%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C-21%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D+)
![\left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2&7&5\\6&3&7\\-21&-1&9\end{array}\right] =](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-2%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C-21%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D)
= ((−2)*3*9)+(7*7*(−21))+(5*6*(−1))−((−21)*3*5)−((−1)*7*(−2))−(9*6*7)=
= - 54 -1029 -30 +315 - 14 - 378= −1190
![x = \frac{-1190}{-238} = 5 x = \frac{-1190}{-238} = 5](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D++%5Cfrac%7B-1190%7D%7B-238%7D+%3D+5)
Hacemos lo mismo para hallar el valor de y. Cambiamos la columna de los valores de la y por los términos independientes.
![y= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&5&7\\1&-21&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] } y= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&5&7\\1&-21&9\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B-2%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B5%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-21%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D+)
![\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&6&7\\1&-21&9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\6&6&7\\1&-21&9\end{array}\right] =](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B-2%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B6%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-21%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D)
= (4*6*9)+((−2)*7*1)+(5*6*(−21))−(1*6*5)−((−21)*7*4)−(9*6*(−2))=
=216 -14 - 630 - 30 + 588 + 108 = 238
![y= \frac{238}{-238} = - 1 y= \frac{238}{-238} = - 1](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D++%5Cfrac%7B238%7D%7B-238%7D+%3D+-+1)
Y por último hacemos lo mismo para hallar el valor de la z
![z = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] } z = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}4&7&5\\6&3&7\\1&-1&9\end{array}\right] }](https://tex.z-dn.net/?f=z+%3D++%5Cfrac%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B-2%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B6%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B-21%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D%7B++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B5%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B7%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B9%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%7D+)
![\left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}4&7&-2\\6&3&6\\1&-1&-21\end{array}\right] =](https://tex.z-dn.net/?f=++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D4%26amp%3B7%26amp%3B-2%5C%5C6%26amp%3B3%26amp%3B6%5C%5C1%26amp%3B-1%26amp%3B-21%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+%3D)
=(4*3*((−21))+(7*6*1)+((−2)*6*(−1))−(1*3*(−2))−((−1)*6*4)−((−21)*6*7=
=- 252 + 42 + 12 + 6 + 24 + 882 = 714
![z= \frac{714}{-238} = -3 z= \frac{714}{-238} = -3](https://tex.z-dn.net/?f=z%3D+%5Cfrac%7B714%7D%7B-238%7D+%3D+-3)
Solución
x = 5
y = -1
z = - 3
Comprobamos
4× + 7y + 5z = - 2 4 (5) + 7(-1) + 5 (-3) = 20 - 7 - 15 = - 2
6× + 3y + 7z = 6 6(5) + 3(-1) + 7(-3) = 30 - 3 - 21 = 6
× - y + 9z = -21 5 - (-1) + 9(-3) = 5 + 1 - 27 = -21
x y z I t. independientes
4× + 7y + 5z = -2 4 7 5 I -2
6× + 3y+ 7z = 6 6 3 7 I 6
× - y + 9z = -21 1 -1 9 I -21
(4*3*9)+(7*7*1)+(5*6*(−1) −(1*3*5)−((−1)*7*4)−(9*6*7)=
108+49-30-15+28-378= - 238
Para hallar el valor de x sustituimos la columna de los valores de x por los valores independientes y dividimos por la matriz del sistema.
= ((−2)*3*9)+(7*7*(−21))+(5*6*(−1))−((−21)*3*5)−((−1)*7*(−2))−(9*6*7)=
= - 54 -1029 -30 +315 - 14 - 378= −1190
Hacemos lo mismo para hallar el valor de y. Cambiamos la columna de los valores de la y por los términos independientes.
= (4*6*9)+((−2)*7*1)+(5*6*(−21))−(1*6*5)−((−21)*7*4)−(9*6*(−2))=
=216 -14 - 630 - 30 + 588 + 108 = 238
Y por último hacemos lo mismo para hallar el valor de la z
=(4*3*((−21))+(7*6*1)+((−2)*6*(−1))−(1*3*(−2))−((−1)*6*4)−((−21)*6*7=
=- 252 + 42 + 12 + 6 + 24 + 882 = 714
Solución
x = 5
y = -1
z = - 3
Comprobamos
4× + 7y + 5z = - 2 4 (5) + 7(-1) + 5 (-3) = 20 - 7 - 15 = - 2
6× + 3y + 7z = 6 6(5) + 3(-1) + 7(-3) = 30 - 3 - 21 = 6
× - y + 9z = -21 5 - (-1) + 9(-3) = 5 + 1 - 27 = -21
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