Question

Resolver por completacion de cuadrados
z2+18z +39=0

Answer 1

Las raíces de la ecuación cuadrática resuelta por el método de completación de cuadrados son $z=-9+\sqrt{42}, z=-9-\sqrt{42}$

¿Como resolver por el método de completar cuadrados?

Para entender mejor el método de completación de cuadrados podemos ver la ecuación cuadrática como una suma de áreas, donde el término cuadrático es un área de un cuadrado, el término lineal es el área de sendos rectángulos limítrofes en dos de los lados del cuadrado y teniendo la ecuación cuadrática:

$z^2+18z+39=0$

Tenemos que sumar algo en ambos miembros para que el trinomio a la izquierda sea el área roja, cuyo valor es $(\frac{b}{2})(\frac{b}{2})=\frac{b^2}{4}$. Entonces queda:

$z^2+18z+39+m=m\\\\39+m=\frac{b^2}{4}=\frac{18^2}{4}=81\\\\m=42\\\\z^2+18z+162=42$

Luego vemos que las dimensiones del cuadrado compuesto son $(z+\frac{b}{2})$, donde 'b' es el coeficiente del término lineal, en este caso 18, por lo que como el polinomio del primer miembro es igual a esa suma de áreas (es un trinomio cuadrado perfecto), se lo puede reemplazar por el área del cuadrado compuesto:

$(z+\frac{b}{2})^2=42$

Luego queda resolver el problema por despeje:

$(z+\frac{b}{2})^2=42\\z+\frac{b}{2}=\ñ\sqrt{42}\\\\z=-\frac{b}{2}-\sqrt{42}=-9-\sqrt{42}\\z=-\frac{b}{2}+\sqrt{42}=-9+\sqrt{42}$

Desde luego, se puede comprobar el resultado obtenido mediante completación de cuadrados usando la fórmula de Bhaskara  que se desarrolla aquí https://brainly.lat/tarea/2049870