Question

Resolver el sistema por sustitución y comprobar.

3/4x+4/5y=2


5/2x+2/3y=25/6

Answer 1

Al resolver con el método de sustitución este sistema de ecuaciones lineales, obtenemos:

$y=\frac{5}{4}\\ \\\x=\frac{4}{3}$

Observemos nuestro sistema de ecuaciones:

1. $\frac{3}{4}x+\frac{4}{5}y=2$

2. $frac{5}{2}x+\frac{2}{3}y=\frac{25}{6}$

De la ecuación 1, despejemos $y$. Primero pasamos restando al otro lado de la igualdad a $\frac{3}{4}x$:

$\frac{4}{5}y=2 -\frac{3}{4}x$

Ahora pasamos el $4$ multiplicando y al $5$ dividiendo, para despejar $y$:

$y =\frac{5}{4}(2 -\frac{3}{4}x)$

Si aplicamos la propiedad distributiva, y distribuir la fracción$\frac{5}{4}$ a los términos entre paréntesis:

$y =(\frac{10}{4} -\frac{15}{16}x)$

Simplificamos un poco:

$y =(\frac{5}{2} -\frac{15}{16}x)$

Ahora, tomaremos este valor de $y$ y lo sustituiremos en la ecuación 2:

$frac{5}{2}x+\frac{2}{3}(\frac{5}{2} -\frac{15}{16}x) =\frac{25}{6}$

Distribuimos la fracción $\frac{2}{3}$

$frac{5}{2}x+(\frac{5}{3} -\frac{30}{48}x) =\frac{25}{6}$

Simplificamos:

$frac{5}{2}x+(\frac{5}{3} -\frac{5}{8}x) =\frac{25}{6}$

Ahora agrupamos los términos con $x$:

$(frac{5}{2}x-\frac{5}{8}x)+\frac{5}{3} =\frac{25}{6}$

Hacemos la resta:

$(frac{15}{8}x)+\frac{5}{3} =\frac{25}{6}$

Pasamos el $\frac{5}{3}$ al otro lado de la igualdad restanto:

$(frac{15}{8}x) =\frac{25}{6} - \frac{5}{3}$

Hacemos la resta del lado derecho:

$(frac{15}{8}x) =\frac{15}{6}$

Y pasamos diviendo a $15$, multiplicando a $8$:

$x =\frac{8}{6}$

Simplificamos la fracción:

$x =\frac{4}{3}$

Ya tenemos el valor de $x$. Ahora buscaremos el de $y$ Podemos introducir el valor de $x$ que recién encontramos en cualquier ecuación y despejar. Hagámoslo con la ecuación 1:

$\frac{3}{4}(\frac{4}{3}+\frac{4}{5}y=2$

Si hacemos la multiplicación de las dos fracciones al principio, nos queda:

$1+\frac{4}{5}y=2$

Pasamos al $1$ restando al otro lado de la igualdad:

$\frac{4}{5}y=1$

Ahora despejamos $y$ para obtener su valor. Pasamos $4$ dividiendo y $5$ multiplicando:

$y=\frac{5}{4}$

Y ya resolvimos el sistema de ecuaciones. Para comprobar, podemos tomar una ecuación e introducir los valores que encontramos, y ver si el resultado da lo que se nos indica. Por ejemplo, tomamos la ecuación 1. Al introducir los valores que encontramos y hacer las operaciones, debería darnos $2$. Probemos:

$\frac{3}{4}(\frac{4}{3})+\frac{4}{5}(\frac{5}{4})$

Como $\frac{3}{4}(\frac{4}{3}) = 1$ y $\frac{4}{5}(\frac{5}{4}) = 1$, la ecuación anterior nos queda:

$[tex]\frac{3}{4}(\frac{4}{3})+\frac{4}{5}(\frac{5}{4})$ = 1 + 1 = 2[/tex]

Que es el resultado que requeríamos. Queda entonces comprobada la solución.

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