Question

Ramon y Julio se reparten una bolsa de caramelos con el siguiente procedimiento: Ramon saca uno, julio saca dos, ramon saca tres, julio saca cuatro y asi sucesivamente; cada uno en sui turno saca uno más que los que sacó el otro en el turno anterior. Cuando uno de ellos no puede cumplir la regla porque no hay suficientes caramelos, se lleva todo lo que queda, y concluye la reparticion. Si ramon saco en total 2009 caramelos, ¿ cuantos caramelos habia inicialmente en la bolsa?

Answer 1

Tienes lo siguiente:
A Ramón le toca una cantidad impar de caramelos:
1, 3, 5, 7........

Calculamos cuántos caramelos le tocaron a Ramón:
La suma de números impares es:
$1+3+5+....+n=n^2$

Como Ramón recibió 2009 caramelos sólo sacamos raíz cuadrada a ese número:
$\sqrt{2009}\approx 44.82$

Como no es una raíz exacta entonces deducimos que ya no había suficientes caramelos al final y tomó los que quedaban. 44 es el número de veces que tomó caramelos de la bolsa.

Calculas cuántos caramelos tomó al final:
$2009-44^2=2009-1936=75$

Como Ramón tuvo 44 turnos para tomar caramelos entonces su amigo Julio también tuvo la misma cantidad de turnos y entre los dos tomaron 88 veces caramelos de la bolsa. Utilizas la fórmula de Gauss para saber cuántos caramelos había:
$1+2+3+...+n= \frac{n(n+1)}{2} \\ \\ 1+2+3+...+88= \frac{88(89)}{2}=44(89)=3916$

A los 3916 le sumas los 75 caramelos que Ramón tomó al final.

Había 3991 caramelos en la bolsa

Saludos!