Que significado tienen las dos soluciones o valores de x ?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Cuando sigues los pasos para resolver una ecuación, intentas despejar la variable. Obtienes una solución cuando tienes la ecuación x = algún valor. Sin embargo, existen ecuaciones que no tienen solución, y otras ecuaciones que tienen un número infinito de soluciones. ¿Cómo sucede esto?
Ecuaciones Algebraicas Sin Solución
Apliquemos los pasos para resolver ecuaciones algebraicas a la ecuación siguiente.
Ejemplo
Problema
Resolver x.
12 + 2x – 8 = 7x + 5 – 5x
Combina los términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
Despeja el término x restando 2x de ambos lados.
¡Esta no es la solución! No encontraste el valor de x. Al resolver x de la manera que conoces, llegaste al enunciado inválido 4 = 5. ¡Por supuesto que 4 no es igual a 5!
Esto tiene sentido cuando consideras la segunda línea en la solución donde se combinaron los términos semejantes. Si multiplicas un número por 2 y le sumas 4 nunca obtendrás la misma respuesta porque estarás multiplicando el mismo número por 2 y sumando 5. Como no existe un valor de x que haga este enunciado válido, la respuesta a la ecuación anterior es “no hay solución”.
Ten cuidado de no confundir la solución x = 0 con “no hay solución”. L solución x = 0 significa que el valor 0 satisface la ecuación, entonces sí hay una solución. “No hay solución” significa que no existe ningún valor, ni siquiera 0, que satisface la ecuación.
También debes tener cuidado de no cometer el error de pensar que la ecuación 4 = 5 significa que 4 y 5 son valores de x que son soluciones. Si sustituyes estos valores en la ecuación original, verás que no satisfacen la ecuación. Esto es porque realmente no hay solución — no existen valores de x que hagan que la ecuación 12 + 2x – 8 = 7x + 5 – 5x sea válida.
Ejemplo
Problema
Resolver x.
3x + 8 = 3(x + 2)
Aplica la propiedad distributiva para simplificar.
Despeja el término de la variable. Como sabes que 8 = 6 es falso, no hay solución.
Respuesta
No hay solución.
Ejemplo Avanzado
Problema
Resuelve y.
8y = 2[3(y + 4) + y]
Aplica la propiedad distributiva para simplificar. Cuando se usan dos juegos de símbolos de agrupación, evalúa el juego de adentro y luego evalúa el de afuera.
Despeja el término de la variable restando 8y de ambos lados de la ecuación. Como sabes que 0 = 24 es falso, no hay solución.
Respuesta
No hay solución.
Ecuaciones Algebraicas con un Número Infinito de Soluciones
Hemos visto que si una ecuación no tiene solución, te encuentras con un enunciado inválido en lugar de un valor de x. Probablemente se te ocurre que puedes también toparte con un enunciado válido en lugar de un valor de x.
Ejemplo
Problema
Resolver x.
5x + 3 – 4x = 3 + x
Combina términos semejantes a ambos lados de la ecuación.
Despeja el término x restando x de ambos lados.
Llegas al enunciado válido “3 = 3”. Cuando terminas con un enunciado válido como este, significa que la solución a la ecuación es “todos los números reales”. Intenta sustituir x = 0 en la ecuación original — ¡obtendrás un enunciado válido! ¡Intenta con , y también funcionará!
Resulta que esta ecuación tiene un número infinito de soluciones. Cualquier valor de x que se te ocurra funcionará en la ecuación. Cuando piensas en el contexto del problema, esto tiene sentido — la ecuación x + 3 = 3 + x significa que “algún número sumado con 3 es igual al mismo número sumado con 3.” Sabemos que esto siempre es cierto — ¡es la propiedad conmutativa de la suma!
Ejemplo
Problema
Resolver x.
5(x – 7) + 42 = 3x + 7 + 2x
Aplica la propiedad distributiva y combina los términos comunes para simplificar.
Despeja el término x restando 5x de ambos lados. Obtienes el enunciado válido 7 = 7, entonces sabes que x puede ser todos los números reales.
Respuesta
x = todos los números reales
Cuando resuelves una ecuación, multiplicar ambos lados por cero no es una buena idea. Multiplicar ambos lados de una ecuación por 0 siempre resultará en la ecuación 0 = 0, pero la ecuación 0 = 0 no nos ayuda a encontrar la solución de la ecuación original.
Ejemplo
Problema
Resolver x.
x = x + 2
Multiplica ambos lados por cero.
Si bien es cierto que 0 = 0, y tengas la tentación de concluir que x es válida para todos los números reales, este no es el caso.
Comprobar:
Mejor método:
Por ejemplo, comprueba y ve si x = 3 resuelve la ecuación.
Claramente 3 nunca es igual a 5, entonces x = 3 no es una solución. La ecuación no tiene soluciones..
No fue útil multiplicar ambos lados de la ecuación por cero.
Hubiera sido mejor empezar restando x de ambos lados, resultando in 0 = 2, que es enunciado inválido que nos dice que no hay soluciones.
Respuesta
No hay solución.