Matemáticas, pregunta formulada por YouCazad0r98, hace 1 año

¿Qué factor numérico tiene 15 ^{n+2}  + 16^{2n+1} ,n∈N?
Usar Inducción Matemática
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Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
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1) Veamos para n = 1
f(n)=15^{n+2}  + 16^{2n+1} \\ \\
f(1)=31\cdot 241

2) Intentemos "adivinar" cuáles de los dos factores primos son factores de f(n)

2.1) 
16^{2n+1}\equiv (-15)^{2n+1}\mod 31\\ \\
16^{2n+1}\equiv -15^{2n+1}\mod 31\\ \\
\text{Luego ...}\\ \\
15^{n+2} + 16^{2n+1}\equiv 15^{n+2} - 15^{2n+1}\mod 31\\\\
15^{n+2} + 16^{2n+1}\equiv 15^{n+1}(15 - 15^{n})\mod 31\\\\
\texttt{Para n=1, tenemos residuo 0, pero para n\ \textgreater \ 1, no.}\\
\texttt{Por ende descartamos a 31 como factor de }f(n)

2.2) Ahora vamos a suponer que 241 | f(n)\,,\, \forall n\in \mathbb{N}. Veamos si es cierto 241|f(n+1):


f(n+1)=15^{n+3}+16^{2n+3}\\ \\
16^2=256\equiv 15\mod 241\\ \\
16^{2n+1}=16^{2n+1}\mod 241\\ \\
\texttt{entonces: }16^2\cdot16^{2n+1}\equiv15\cdot 16^{2n+1}\mod 241\\ \\ 
\texttt{Por consiguiente: }\\ \\
15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv 15^{n+3}+15\cdot 16^{2n+1}\mod 241\\ \\ 
15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv 15\left(15^{n+2}+16^{2n+1}\right)\mod 241\\ \\ 
15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv \left(15^{n+2}+16^{2n+1}\right)\mod 241\\ \\ 
\texttt{Por hip\'otesis inductiva: }
15^{n+3}+16^{2n+3}\equiv0\mod 241\\ \\
f(n+1)\equiv0\mod 241

Por fin el factor buscado es 241
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