Question

PUEDEN AYUDAR POR FA :)

Answer 1

1. Generalmente son funciones diferenciables a trozos por ejemplo f(x) = |x| o las funciones a trozos como

                               $f(x)=\begin{cases} x^2&\text{ si }x\ \textless \ 2\\ 4&\text{ si }x\geq2\\ \end{cases}$

Las funciones totalmente no diferenciables, es decir las que no son diferenciables en todo punto de su dominio, y que sean continuas son las funciones fractales continuas: Como la función de Weierstrass

                                       $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$

donde $0\ \textless \ a\ \textless \ 1$ y $b>0$ es impar, además $ab \ \textgreater \ 1+\dfrac{3}{2} \pi$

2) Si se habla de funciones en una sola variable, la diferenciabilidad implica continuidad (y no viceversa como se ve en [1] )

Veamos la definición de una función diferenciable.

$\text{Sea }f:D\subset\mathbb{R}\to \mathbb{R}. ~f \text{ es diferenciable en }a\in{D} \text{ si existe una constante } \\ A\in \mathbb{R} \text{ tal que }f(x)=f(a)+A(x-a)+o(x-a)\\ \\ \text{Pasemos al l\'imite cuando }x\to a\\ \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}\left[f(a)+A(x-a)+o(x-a)\right]\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$


$\text{Esto implica que }f\text{ es continua en }a.\text{ Por ende la diferenciabilidad de}\\\text{una funci\'on en un punto (de su dominio) implica la continuidad en tal}\\ \text{punto}. \\ \\ \text{Es decir si }f\text{ es diferenciable en }D ~(\text{o sea en todo punto del dominio }D)\\ \text{entonces es continua en }D$