Question

Problemas de optimización
Encontrar dos números tales que la sume de uno de ellos con el cubo otro sea 108 y que su producto sea lo más grande posible

Answer 1

Respuesta:

81 y 3

Explicación paso a paso:

Hola!

Para este problema debemos de encontrar una ecuación que nos ayude a la optimización, llamaremos a un número "s" y al otro "t" (puedes llamarlos como más se te facilite).

sabemos que la suma de uno de ellos, con el cubo del otro es 108:

$s+t^3=108$  ec.1

y además, que el producto sea lo más grande posible, llamaré al producto "P":

$P_{max}=s*t$  (ec. 2)

ahora, de la ecuación 1 despejamos cualquiera de las dos variables:

$s=108-t^3$

sustituimos en ec., y nos da:

$P_{max}=(108-t^3)*t\\P_{max}=108t-t^4$    (ec. 3)

El siguiente paso es obtener la primera derivada y obtener las raíces de esta función:

$P'_{max}=108-4t^3$

Ahora es necesario hallar las raíces, tal que $P_{max}(t)=0$ , encontrando que son

$108-4t^3=0\\108=4t^3\\t^3=108/4\\t^3=27\\t=\sqrt[3]{27}\\ t=3$

Ahora, para saber si efectivamente es un máximo local, debemos  confirmar que $P''_{max}(t)<0$ para la segunda derivada.

$P''_{max}=-12t^2$

$P''_{max}(3)=-12(3)^2=-108$

por lo que efectivamente, este valor es un máximo local

sabiendo el valor de t, ahora solo resta encontrar s, el cual podemos obtener de la ec.1

$s+t^3=108\\s+3^3=108\\s+27=108\\s=108-27\\s=81$

Y con esto hemos encontrado los valores de esos dos números.