Question

Problema de optimización Descomponer el número 98 en dos sumandos tales que la suma de sus raíces cuadradas sea
máxima.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Llamamos x e y a cada una de las cantidades que componen sumando a 98.

Entonces x +y = 98  o lo que es lo mismo y = 98-x

Si se pretende que la suma de sus raíces cuadradas sea máxima pedimos

Máx $f(x,y)=\sqrt{x} +\sqrt{y}$

Pero como y = 98-x  convertimos la función a una sola variable

Máx $f(x)=\sqrt{x} +\sqrt{98-x}$

Derivamos la función f(x)

f'(x) =$\frac{1}{2\sqrt{x} }+\frac{1}{2\sqrt{98-x} }*(-1)$

Igualamos a cero la derivada

   f'(x) =$\frac{1}{2\sqrt{x} }-\frac{1}{2\sqrt{98-x} }=0$

Buscamos común denominador $2\sqrt{x} \sqrt{98-x}$

     $\frac{\sqrt{98-x}-\sqrt{x} }{2\sqrt{x}\sqrt{98-x} }=0$

entonces

$\sqrt{98-x} -\sqrt{x} =0$

$\sqrt{98-x}=\sqrt{x}$

Elevo al cuadrado ambos miembros y elmino raíces

98-x = x

98=2x

49=x

Para comprobar que es máximo se puede usar el criterio de la derivada primera, eligiendo :

             f'(1) = $\frac{\sqrt{97}-1 }{2\sqrt{97} }$  es positivo (lo que indica que la función crece)

             f'(50) =   $\frac{\sqrt{98-50} -\sqrt{50} }{2\sqrt{50}\sqrt{98-50} }$$=\frac{\sqrt{48}-\sqrt{50} }{2\sqrt{48}\sqrt{50} }$  es negativo (lo que indica que la función decrece)

Por lo que x = 49 resulta un máximo para la función f(x)

Luego si x = 49  entonces y = 98-49 = 49

Los dos sumandos de 98 que hacen máxima la suma de sus raíces cuadradas son 49 y 49