Question

Problema de optimización
Descomponer el número 49 en el producto de dos factores de tal forma que la suma de éstos
sea minima.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Llamemos x e y los factores que componen a 49.

Entonces x.y= 49

O también y = $\frac{49}{x}$

Si se pretende determinar cuáles son los valores para que su suma sea mínima, entonces

mín f(x, y) = x+ y

Que es idéntico a

mín f(x) = x+$\frac{49}{x}$

Derivamos la función

f'(x) = $1-\frac{49}{x^{2} }$

Igualamos a cero

$1-\frac{49}{x^{2} }=0$

$1=\frac{49}{x^{2} }$

$x^{2} =49$    entonces x = 7 o x = -7

Si usamos el criterio de la derivada segunda, descubriremos qué valor resulta un mínimo para la función.

Derivamos por segunda vez

f'' (x) = $\frac{98}{x^{3} }$

Entonces   f ''(7) = $\frac{98}{7^{3} }$ es positivo con lo que x = 7 es un mínimo local

                  f '' (-7) = $\frac{98}{(-7)^{3} }$  es negativo con lo que x = -7 es un máximo local

Como buscamos el que haga mínima la función nuestro resultado buscado es x = 7

Y como  y = $\frac{49}{x}$  entonces y = $\frac{49}{7}=7$

Los factores buscados son 7 y 7.