Question

Problema A.3.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función real f definida por xf )( = (x − )(1 x − )3 , siendo x un número real. (3 puntos)
b) El área del recinto acotado limitado entre las curvas y = (x − )(1 x − )3 e y −= (x − )(1 x − ).3 (4 puntos)
c) El valor positivo de a para el cual el área limitada entre la curva y = a(x − )(1 x − )3 , el eje Y y el segmento que une los puntos )0,0( y )0,1( es 4/3. (3 puntos).

PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II

Answer 1

a)      Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función real f definida por f(x) = (x – 1)(x - 3), siendo x un número real.

 

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se deriva la función f(x) y posteriormente se iguala a cero para obtener los puntos críticos.

 

f’(x) = x – 3 + x – 1 = 2x – 4

 

2x – 4 = 0

 

X = 2

 

Se evalúan los siguientes intervalos para determinar el crecimiento o decrecimiento de la función.

 

(-∞, 2) y (2, +∞)

 

Para el intervalo (-∞, 2):

 

f’(0) = 2(0) – 4 = -4 (Decrece)

 

Para el intervalo (2, +∞):

 

f’(5) = 2(5) – 4 = 6 (crece)

 

b)      El área del recinto acotado limitado entre las curvas y = (x – 1)(x – 3) e y = -(x – 1)(x – 3).

 

Se encuentran los puntos de corte entre ambas funciones igualando las y.

 

(x – 1)(x – 3) = -(x – 1)(x – 3)

 

x^2 – 4x + 3 = - x^2 + 4x – 3

 

2x^2 – 8x + 6 = 0

 

x1 = 3

 

x2 = 1

 

Estos serán los límites de integración, ahora se aplica la integral para determinar el área.

 

∫[-(x – 1)(x – 3)] – [(x – 1)(x – 3)] dx

 

Resolviendo:

 

-∫ (x^2 – 4x + 3)dx - ∫ (x^2 – 4x + 3)dx

 

-2(x^3/3 – 2x^2 + 3x) | (desde 1 hasta 3)

 

Evaluando la integral:

 

A = -2[(3)^3/3 – 2(3)^2 + 3(3)] + 2[(1)^3/3 – 2(1)^2 + 3(1)]

 

A = 8/3 u^2

 

c)       El valor positivo de a para el cual el área limitada entre la curva y = a(x – 1)(x – 3), el eje Y y el segmento que une los puntos (0, 0) y (1, 0) es 4/3.

 

Se aplica una integral cuyos límites de integración son 0 y 1, la integral involucra a las funciones f(x) = a(x – 1)(x – 3) y g(x) =0.

 

∫ [a(x – 1)(x – 3) – 0]dx

 

Resolviendo:

 

∫ a*(x^2 – 4x + 3)dx

 

a*(x^3/3 – 2x^2 + 3x) | Desde 0 hasta 1

 

A = 4/3 = a*[(1)^3/3 – 2(1)^2 + 3(1) – (0)^3/3 – 2(0)^2 + 3(0)]

 

4/3 = a*4/3

 

a = 1

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.